圆外切四边形的性质及应用VIP专享VIP免费

圆外切四边形的性质及应用01双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，内心为P，内切圆半径为r，OI=h．证明+=．证：如图，分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D． ∠LCM=180－∠LPM=∠PLM+∠PML=(∠MLK+∠LMN),∠KAN=(∠LKN+∠KNM)．∴A、B、C、D四点共圆．我们设其半径为，易证B、P、D；A、P、C分别三点共线．∴r=PLsin=PBsinsin=PB·,PC·AP=2－d2(d为ABCD的外心记为与P的距离)．又易证AC⊥BD，∴=r=…①延长NP交BC于T，易证T为BC中点(卜拉美古塔定理)．∴T∥PS,S∥PT．□TPS中，4OT2=PS2+OS2－d2=22－d2．又ON=O为KLMN的外心(即为O)且R=…②，h=d…③由①②③得===+．02证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．证：沿用上题的记号，对点X、Y、Z，用d(X,YZ)表示X到YZ的距离．¡ñ¡ñCDAPOLST'K¦Â¦ÁMN¦ÁB¦¸¦Á设⊙O半径为r，∠BAD=2,∠ABC=2,∠BCD=2,∠CDA=2，则,,,均为锐角且+++=．∴sin,sin,sin,sin>0．连结EF(若E与F重合，则结论显然成立，以下设E与F不重合)．在线段EF上取点O使=．连OA、OD、OG(F为⊙O与AD相切处)，则OG⊥AD,AG=OGcot=rcot,GD=OGcot=rcot．故AD=r(cot+cot)．∴d(A,CD)=r(cot+cot)sin2．∴d(E,CD)=sin2(cot+cot)r=sincos(cot+cot)r=(sincoscot+cos2)r=(sincoscot－sin2)r+r=sin·r+r=(+1)r．同理d(F,CD)=(+1)r．由=知d(O,CD)==r+r=r(因为+++=，所以cos(+)+cos(+)=0)．同理d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,DA)=r．∴O与O重合，故知结论成立，证毕．OBAC¡ñDEO'()F¡ñ¡ñ03已知△ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．证：作△DEF内切圆⊙，切EF、FD、DE于P、Q、R．又设△ABC内切圆为⊙I，△AEF内切圆为⊙1．记⊙1、⊙、⊙I半径分别为R1,R,r．由AEDF为圆外切四边形知AF+DE=AE+DF．∴FP－PE=FD－DE=FA－AE．∴⊙1切EF于P，∴⊙1与⊙外切，∴1、P、三点共线．另一方面，易知A、1、I三点共线．延长AP交I于T，则对△I1与截线AP用梅氏定理知=1．注意到=，上式=1，即=．∴T为线段I上一个定点，∴AP、BQ、CR三线共点于T．由塞瓦定理知=1．再用角平分线定理知上式=1．将FP=FQ,EP=ER,DQ=DR代入得=1．由塞瓦定理即知AD、BE、CF三线共点，得证．04四边形ABCD既可外切于圆，又可内接于圆，并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N，四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K，∠B和∠C的外角平分线相交于点L，∠C和∠D的外角平分线相交于点M，∠D和∠A的外角平分线相交于点N．证明，直线KK、LL、MM、NN经过同一个点．证：如图，设∠BCD的内切圆圆心为I，∠BAI=∠IAD=,∠ABI=∠CBI=,∠BCI=∠DCI=,∠CDI=∠ADI=θ．⊙I半径为r．CQPEFR1¡ñ¡ñ¡ñ¡ñIABTD¦Ø¦Ø由ABCD还有外接圆可得+=+θ=．∴∠KAB==∠NAI(由于KN为A外角平分线)，且A、K、B、I四点共圆，AB=r(cot+cotB)．∴=即=．∴AK=．同理AN=．∴KN==，KN⊥AI．而KN∥KN且=2rsin且KN⊥AI．∴KN∥KN且=2sinsinsinθsin．同理可得MN∥MN,=2sinsinsinθsin,ML∥ML,=2sinsinsinθsin,LK∥LK,=2sinsinsinθsin．于是四边形KLMN与四边形KLMN位似，对应顶点连线KK、LL、MM、NN共点于位似中心，得证．ACN¡ñ¡ñDLBIMKK'M'N'L'¦Á¦Â¦Á¦Â¦È¦Ã¦È¦Ã¦Ã¦Ã05设凸四边形ABCD外切于⊙O，圆心O在对角线BD上的射影为M．求证BD平分∠AMC．证：设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1．不妨设⊙O半径为1，以O为原点建立复平面，则⊙O为单位圆．令A1、B1、C1、D1所代表的复数为a,b,c,d，则由熟知结论可知D=,A=,B=,C=．注意到过BD直线方程为(B－D)x+BD=(B－D)x+BD．将B、D代入化简得(c+d－a－b)x－[ab(c+d)－cd(a+b)]x=2cd－ab…①又过O且垂直于BD直线方程为+=0．将B、...