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圆外切四边形的性质及应用VIP免费

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圆外切四边形的性质及应用01双心四边形,外心为O,外接圆半径为R,内心为P,内切圆半径为r,OI=h.证明+=.证:如图,分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D. ∠LCM=180-∠LPM=∠PLM+∠PML=(∠MLK+∠LMN),∠KAN=(∠LKN+∠KNM).∴A、B、C、D四点共圆.我们设其半径为,易证B、P、D;A、P、C分别三点共线.∴r=PLsin=PBsinsin=PB·,PC·AP=2-d2(d为ABCD的外心记为与P的距离).又易证AC⊥BD,∴=r=…①延长NP交BC于T,易证T为BC中点(卜拉美古塔定理).∴T∥PS,S∥PT.□TPS中,4OT2=PS2+OS2-d2=22-d2.又ON=O为KLMN的外心(即为O)且R=…②,h=d…③由①②③得===+.02证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线.证:沿用上题的记号,对点X、Y、Z,用d(X,YZ)表示X到YZ的距离.¡ñ¡ñCDAPOLST'K¦Â¦ÁMN¦ÁB¦¸¦Á设⊙O半径为r,∠BAD=2,∠ABC=2,∠BCD=2,∠CDA=2,则,,,均为锐角且+++=.∴sin,sin,sin,sin>0.连结EF(若E与F重合,则结论显然成立,以下设E与F不重合).在线段EF上取点O使=.连OA、OD、OG(F为⊙O与AD相切处),则OG⊥AD,AG=OGcot=rcot,GD=OGcot=rcot.故AD=r(cot+cot).∴d(A,CD)=r(cot+cot)sin2.∴d(E,CD)=sin2(cot+cot)r=sincos(cot+cot)r=(sincoscot+cos2)r=(sincoscot-sin2)r+r=sin·r+r=(+1)r.同理d(F,CD)=(+1)r.由=知d(O,CD)==r+r=r(因为+++=,所以cos(+)+cos(+)=0).同理d(O,AB)=d(O,BC)=d(O,DA)=r.∴O与O重合,故知结论成立,证毕.OBAC¡ñDEO'()F¡ñ¡ñ03已知△ABC,在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形.求证AD、BE、CF三线共点.证:作△DEF内切圆⊙,切EF、FD、DE于P、Q、R.又设△ABC内切圆为⊙I,△AEF内切圆为⊙1.记⊙1、⊙、⊙I半径分别为R1,R,r.由AEDF为圆外切四边形知AF+DE=AE+DF.∴FP-PE=FD-DE=FA-AE.∴⊙1切EF于P,∴⊙1与⊙外切,∴1、P、三点共线.另一方面,易知A、1、I三点共线.延长AP交I于T,则对△I1与截线AP用梅氏定理知=1.注意到=,上式=1,即=.∴T为线段I上一个定点,∴AP、BQ、CR三线共点于T.由塞瓦定理知=1.再用角平分线定理知上式=1.将FP=FQ,EP=ER,DQ=DR代入得=1.由塞瓦定理即知AD、BE、CF三线共点,得证.04四边形ABCD既可外切于圆,又可内接于圆,并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N,四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K,∠B和∠C的外角平分线相交于点L,∠C和∠D的外角平分线相交于点M,∠D和∠A的外角平分线相交于点N.证明,直线KK、LL、MM、NN经过同一个点.证:如图,设∠BCD的内切圆圆心为I,∠BAI=∠IAD=,∠ABI=∠CBI=,∠BCI=∠DCI=,∠CDI=∠ADI=θ.⊙I半径为r.CQPEFR1¡ñ¡ñ¡ñ¡ñIABTD¦Ø¦Ø由ABCD还有外接圆可得+=+θ=.∴∠KAB==∠NAI(由于KN为A外角平分线),且A、K、B、I四点共圆,AB=r(cot+cotB).∴=即=.∴AK=.同理AN=.∴KN==,KN⊥AI.而KN∥KN且=2rsin且KN⊥AI.∴KN∥KN且=2sinsinsinθsin.同理可得MN∥MN,=2sinsinsinθsin,ML∥ML,=2sinsinsinθsin,LK∥LK,=2sinsinsinθsin.于是四边形KLMN与四边形KLMN位似,对应顶点连线KK、LL、MM、NN共点于位似中心,得证.ACN¡ñ¡ñDLBIMKK'M'N'L'¦Á¦Â¦Á¦Â¦È¦Ã¦È¦Ã¦Ã¦Ã05设凸四边形ABCD外切于⊙O,圆心O在对角线BD上的射影为M.求证BD平分∠AMC.证:设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1.不妨设⊙O半径为1,以O为原点建立复平面,则⊙O为单位圆.令A1、B1、C1、D1所代表的复数为a,b,c,d,则由熟知结论可知D=,A=,B=,C=.注意到过BD直线方程为(B-D)x+BD=(B-D)x+BD.将B、D代入化简得(c+d-a-b)x-[ab(c+d)-cd(a+b)]x=2cd-ab…①又过O且垂直于BD直线方程为+=0.将B、...

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