在复习中准确把握两个不等式佛山市顺德区郑裕彤中学徐新宏不等式是一个最基本也很重要的不等式，它本身的应用较广泛。虽然在新课标的高考中对不等式证明的要求已大大降低，但这并不说明可以放弃。它的一些变形式散见于课本和一些参考资料中，利用这些变形式能较容易地解决一些问题。另外，在广东高考数学理科卷的填空题中有“三选二”的形式，其中有涉及《不等式选讲》（选修4—5）的内容，主要的就是柯西不等式的应用。在重要不等式和柯西不等式的应用中，一定要抓准高考中会出现的题型(大都是以客观题形式出现)，特别是求最值问题。在利用不等式求最值时，一定要注意等号成立的条件，否则就会出错。本文挖掘重要不等式和柯西不等式以及它们的一些变形在解题中的应用。这样不仅可以针对高考题型做好准备，而且不会做无用功。一、重要不等式：。变形之一：（当且仅当时取“=”号。）这个不等式也称为基本不等式。这个变形式就是前一个不等式的推论。其中，限制条件可以放宽为是非负实数。变形之二：（当且仅当时取“=”号）变形之三：（当且仅当时取“=”号）二、柯西不等式：若都是实数，则，当且仅当时，等号成立（这是二维形式的柯西不等式）。设是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立（这是一般形式的柯西不等式）。在使用柯西不等式时，一定要根据它的结构特点，直接使用或灵活地配凑出其固有的形式，其规律性是较明显的。下面略举几例来说明它们的应用。同学们可以自己判断使用了什么形式的不等式。例1.（2004年高考湖北文史卷）已知，则有（）A．最大值B最小值．C．最大值1D．最小值1解：。=当且仅当，即时，上式等号成立。因为在定义域内，所以最小值为1。例2．（2006年高考重庆卷）若，且，则的最小值为（）A．B．C．D．解：由已知条件有。（当且仅当即时，取“=”号）。所以。故选D。例3、（2004年高考重庆文史卷）已知，则的最小值是____________。解析：解法一：（不等式法）2=。当且仅当等号成立。解法二：（三角代换法）令。（同学们自己验证等号成立的条件）。例4．（某地2007模拟试题）某工厂年产量第二年增长率为，第三年增长率为，则这两年平均增长率满足（）A．B．C．D．解析：设原产量为A，则有利用变形二有。故选B。例5．（2005年高考重庆卷）若是正数，则的最小值是（）A.3B.C.4D.解析：由变形三可以把和放在一起，这样就可以解下去。-----------------（*）而由变形一有：（当且仅当时，两个式子中的等号都成立）。此时，（*）式中的等号也同时成立故当且仅当时，的最小值是=4。选（C）。例6、(惠州市2008届高三第二次调研考试)已知实数满足，,则的最大值为__________________。解析：由已知条件，很容易想到公式，显然有，即有（当且仅当时，等号成立。）则的最大值为。值得说明的是，在没有学习柯西不等式之前用重要不等式也是可以解决此题的，但不少同学可能是这样做的：因为，所以，即有。所求的最大值是2。这个结果肯定是不对的，请同学们思考错误的原因。例7、（2007年广州市一模）设为正数，且，则的最小值是_______________.解析：这种类型的解题规律较明显，只要把和结合在一起，即把两式相乘即可。下面给出两种解法：A、（当且仅当时，等号成立）。即有。故填。B、，即有（当且仅当时，等号成立）。故填。练习：（2007年山东高考题）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_______.提示：先求出定点A的坐标（-2，-1），又点A在直线上，则。可仿照例7来做。例8．（某地2008年高考模拟题）设，，则的最小值是（）A．B.C.D.分析：此题可能首先想到令，把代入，用判别式法来解，但要注意是有限制条件的。在能否取到最小值时，要验证存在的条件才行。这个解法还是较麻烦的。也能想到把化为，用椭圆的参数方程进行三角代换来解。但经过观察，我们发现有关系，因而想到要用好这个关系则简洁很多。解：利用变形三有：即有，的最小值是-4。当且仅当，即，=时，取得最小值为-4。故选（B）。另解：由公式有（当且仅当时等号成立）即有。当时，取得最小值为-4。故选（B）。练习、已知为正数，且满足，则的最大值是_____________.提示：已知条件可变化为，那么中的系数如何配凑一下呢？
