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圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题专题训练VIP免费

圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题专题训练_第1页
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第2讲圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围是().A.(1,2)B.(1,2]C.(1,)D.(1,]解析因为双曲线的渐近线为y=±x,要使直线y=x与双曲线无交点,则直线y=x应在两渐近线之间,所以有≤,即b≤a,所以b2≤3a2,c2-a2≤3a2,即c2≤4a2,e2≤4,所以1<e≤2.答案B2.已知椭圆+=1(0<b<2),左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是().A.1B.C.D.解析由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即=3,可求得b2=3,即b=.答案D3.(2014·湖北卷)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为().A.B.C.3D.2解析设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,则(2c)2=r+r-2r1r2cos,得4c2=r+r-r1r2.由得∴+==.令m====,当=时,mmax=,∴max=,即+的最大值为.答案A4.(2014·福建卷)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是().A.5B.+C.7+D.6解析设圆的圆心为C,则C(0,6),半径为r=,点C到椭圆上的点Q(cosα,sinα)的距离|CQ|===≤=5,当且仅当sinα=-时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r=5+=6,即P,Q两点间的最大距离是6,故选D.答案D二、填空题5.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的最小值为________.解析由已知得A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则PA1·PF2=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=4x2-x-5.令f(x)=4x2-x-5,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取最小值,即PA1·PF2取最小值,最小值为-2.答案-26.已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足AP⊥BP.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是______.解析设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0,即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.又双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由题意,可得>1,即>1,所以e=<2,又e>1,故1<e<2.答案(1,2)7.若椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围为________.解析可知e==1-,e==1+,所以e+e=2>2e1e2⇒0<e1e2<1.答案(0,1)8.直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A,B,C,D,则的值为________.解析由得x2-3x-4=0,∴xA=-1,xD=4,∴yA=,yD=4.直线3x-4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1).∴AF=yA+1=,DF=yD+1=5,∴==.答案三、解答题9.(2014·烟台一模)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点A,B是椭圆上不同的两个动点,且满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.解(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则b=2.由=,a2=c2+b2,得a=4,∴椭圆C的方程为+=1.(2)当∠APQ=∠BPQ时,PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,PA的直线方程为y-3=k(x-2),由整理得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0,x1+2=,同理PB的直线方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2==,∴x1+x2=,x1-x2=,∴kAB====,所以直线AB的斜率为定值.10.(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示,已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A,B两点.(1)写出抛物线C2的标准方程;(2)求证:以AB为直径的圆过原点;(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C...

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