圆锥曲线中的四心VIP免费

圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用．关键词：思维流程内心外心重心垂心解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考．例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A、(2,0)B、31,2C三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)FH，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；思维流程：（Ⅰ）（Ⅱ）解题过程：第1页共9页得出点坐标为由椭圆经过A、B、C三点设方程为得到的方程组解出由内切圆面积最大转化为面积最大转化为点的纵坐标的绝对值最大最大为椭圆短轴端点面积最大值为内切圆周长rSDFH2133内切圆r（Ⅰ）设椭圆方程为将(2,0)A、(2,0)B、3(1,)2C代入椭圆E的方程，得41,914mmn解得11,43mn.∴椭圆E的方程22143xy．（Ⅱ）||2FH，设Δ边上的高为当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以的最大值为3．设Δ的内切圆的半径为R，因为Δ的周长为定值6．所以，所以R的最大值为33．所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.点石成金：例2、椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1FBAF，1OF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：（Ⅰ）第2页共9页2,1ab写出椭圆方程由，，1PQk由F为的重心,PQMFMPFQ（Ⅱ）消元解题过程：（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c又 1FBAF即22()()1acacac∴22a故椭圆方程为2212xy（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心，则设1122(,),(,)PxyQxy， (0,1),(1,0)MF，故1PQk，于是设直线l为yxm，由2222yxmxy得2234220xmxm 12210(1)(1)MPFQxxyy�又(1,2)iiyxmi得1221(1)()(1)0xxxmxm即212122()(1)0xxxxmmm由韦达定理得222242(1)033mmmmm解得43m或1m（舍）经检验43m符合条件．点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．第3页共9页2222yxmxy2234220xmxm两根之和，两根之积0MPFQ�得出关于m的方程解出m例3、在椭圆C：中，分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆C上的且在第一象限内的一点，的重心为G，内心为I．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）已知为椭圆C上的左顶点，直线过右焦点与椭圆C交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．思维流程：（Ⅰ）（Ⅱ）解题过程：（Ⅰ）设，重心，由已知可知，则，第4页共9页由已知得，设重心12120012PFFSFFyy内切圆rFFPFPFSFPF)(212121210321yrSFPF内切圆30yr内I的纵坐标为∥21FFIG由，可知的斜率一定存在且不为0，设为k的方程为消去y得2221222143124438kkxxkkxx利用得的方程解出由又内心I的纵坐标为∥即．（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；则直线l的斜率存在．设直线为，直线l和椭交于，。将依题意：由韦达定理可知：又而从而求得符合故所求直线MN的方程为：点石成金：重心的特点为坐标．例4、已知双曲线C以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为焦点．（Ⅰ）求双曲线C的方程；第5页共9页（Ⅱ）若为双曲线C的左右焦点，为双曲线C上任意一点，为的外心，且,求点的坐标．思维流程：（Ⅰ）（Ⅱ）解题过程：（Ⅰ）...