INCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\第二章.tif"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\第二章.tif"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\方法活用.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\方法活用.TIF"\*MERGEFORMATINET1利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是()A．2B.C.D．5解析由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.答案C2．求动点坐标例2椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．解析设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3,0)．答案(±3,0)点评由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．3．求焦点三角形面积例3如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①，得|PF1|＝.所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.INCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\方法活用.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\方法活用.TIF"\*MERGEFORMATINET2如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin60°＝c.∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.答案－1点评本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.解析如图所示，直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0. 点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.又 b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝(舍去)．答案3．利用数形结合求离心率例3在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.解析如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB.又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，则四边形OAPB是正方形，故OP＝OA，即＝a，∴e＝＝.答案4．综合类例4设M为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．解由正弦定理得＝＝＝＝，∴e＝＝＝＝.点评此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.INCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2016\\同步2016\\步步高\\人A数学\\方法活用.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵...
