第3章单自由度体系5(直接积分法)VIP专享VIP免费

第三章单自由度体系直接积分法主要内容•两种直接积分方法（1）中心差分法（2）Newmark—β法•数值积分的稳定性•了解算法阻尼（数值阻尼）现象1.数值积分概述（直接积分法，逐步积分法）(DirectIntegrationMethods,Step-by-StepMethods)运动方程：Indirectintegrationtheequationsofequilibriumareintegratedusinganumericalstep-by-stepprocedure,theterm‘direct’meaningthatpriortothenumericalintegration,notransformationofequationsintoadifferentformiscarriedout.(K.J.Bathe,FiniteElementProcedures,Prentice-Hall,1996.)Twoideas:(1)运动方程并不在任何时间t都得到满足，而仅仅是在以时间间隔为Δt的离散时间点上得到满足。(2)在时间间隔Δt内，对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。()()()muctuktupt++=���1.数值积分概述常用的数值积分方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）Runge-Kutta法；（4）Houbolt法；（5）平均加速度法；（6）线性加速度法；（7）Newmark—β法；（8）Wilson—θ法；（9）HHT法(Hilber-Hughes-Taylormethod)；（10）精细积分法；……1.数值积分概述一种逐步积分法的优劣，主要由以下四个方面判断：(1)收敛性：当Δt→0时，数值解是否收敛于精确解；(2)计算精度：截断误差与时间步长Δt的关系，若误差∝O(Δtn)，则称方法具有n阶精度；(3)稳定性：随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大（远离精确解）；(4)计算效率：所花费的计算时间。一个好的方法首先必须是收敛的、有足够的精度（例如二阶，满足工程要求）、良好的稳定性、较高的计算效率。1.数值积分概述数值积分分类：按计算ti+1时刻的解所需运用平衡方程，可分为：隐式积分方法（implicitintegrationmethods）：ti+1时刻的解要运用ti+1时刻的动平衡来获得。计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark—β法、Wilson—θ法。显式积分方法(explicitintegrationmethods)：ti+1时刻的解是利用ti时刻的动平衡来获得。计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法。1.数值积分概述数值积分分类：按计算稳定性对计算时间间隔Δt的要求，分为：条件稳定（conditionallystable）：只有当Δt