第18卷第4期数学研究与评论Vol.18No.41998年11月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONNov.1998cu-条件的Morita不变性Ξ陈焕艮(湖南师范大学数学系,长沙410006)摘要本文证明了rc2条件下的cu2条件是Morita不变的.关键词rc2条件,cu2条件,Morita等价.分类号AMS(1991)15E50�CCLO1531973年,E.G.Evans证明了M可以从直和项中消去当且仅当EndM满足稳定秩1条件,1976年,K.R.Goodearl把上述问题推广到了模的幂消去.在[4]中,进一步把幂消去问题推广到了幂比较,即环R称为满足cu2条件,如果ax+b=1R,a,x,b∈R,则存在n>0,Q∈Mn(R)使得aIn+bQ在Mn(R)上左可逆或右可逆.在本文中,证明了cu2条件在rc2条件下是Morita不变的.文中所有环都是带单位元1的结合环,模都是酉模.环R称为满足rc2条件,如果ax+b=1R,a,x,b∈R,则存在中心幂等元e使得有y,z∈R满足a+by在R�Ann(e)中右逆,a+bz在R�Ann(1-e)中左逆,首先,有:命题1下列两款等价:(1)R满足rc2条件.(2)若M=A1�B1=A2�B2,A1�R�A2,则存在中心幂等元e使得M=C�D�B1=C�E�B2,且De=0,E(1-e)=0.证明(2)](1)显然Me=Ce�B1e=Ce�Ee�B2e,M(1-e)=C(1-e)�D(1-e)�B1(1-e)=C(1-e)�B2(1-e),类似于文[3]命题10即知R满足rc2条件.(1)](2)类似于[3]命题10知,存在中心幂等元e∈R使得M(1-e)=C1�D�B1(1-e)=C1�B2(1-e),且Me=C2�B1e=C2�E�B2e,显然有—355—Ξ1995年11月27日收到.1998年1月6日收到修改稿.湖南省自然科学基金资助项目.©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.De=0,E(1-e)=0,且M=M(1-e)�Me=C�D�B1=C�E�B2,其中C=C1�C2,故命题得证.命题2设R满足cu2条件且0≠e=e2∈R,则eRe满足cu2条件.证明假设ax+b=e,a,x,b∈eRe,易验证(a+1-e)(x+1-e)+b=ax+b-e+1=1,因为R满足cu2条件,故存在n>0,Q∈Mn(R)使得(a+1-e)In+bQ为n阶左可逆或右可逆矩阵.假设存在P∈Mn(R)使得P((a+1-e)In+bQ)=In,则eP((a+1-e)In+bQ)e=eIn,故eP(aIn+bQe)=eIn.由于a,b∈eRe,从而a=eae,b=ebe,所以eP(eae�eIne+ebe�eQe)=eIn,即(ePe)(a�eIne+b(eQe))=eIne,故存在eQe∈Mn(eRe)使得a(eIne)+b(eQe)在Mn(eRe)中左可逆,类似地,可以证得a(eIne)+b(eQe)在Mn(eRe)中右可逆,故命题得证.为了便于应用,给出cu2条件的模形式.命题3设A为右R2模,E=EndRA,则下列两款等价:(1)E满足cu2条件.(2)设M=A1�B1=A2�B2且A1�A�A2,则存在n>0,C≤Mn使得Mn=C�D�B1n=C�E�B2n,且D=0或E=0.证明根据[4]命题3.1知E满足cu2条件当且仅当如果M=A1�B1=A2�B2,A1�A�A2,则存在n>0,C≤Mn使得Mn=C�D�B1n=C�B2n或者Mn=C�B1n=C�E�B2n,故命题得证.命题4设R满足rc2条件,若R满足cu2条件,则Mn(R)满足cu2条件.证明设M=A1�B1=A2�B2,A1�Rn�A2,假设n=1,显然存在m≥1,D1≤Mm使得Mm=D1�E1�B1m=D1�F1�B2m,且E1=0或F1=0.假设当n≤k时,存在s≥1,D2≥Ms使得Ms=D2�E2�Bs1=D2�F2�Bs2,且E2=0或F2=0.现令n=k+1(k≥1),则Υ:R�Rk�A1,从而,A1=Υ(R�Rk)=Υ(R)�Υ(Rk)=F1�F2,这里F1=Υ(R)�R,F2=Υ(Rk)�Rk.类似地有A2=G1�G2,这里G1�R,G2�Rk.因为—455—©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.M=A1�B1=F1�(F2�B1)=G1�(G2�B2)=A2�B2,这里F1�R�G1.因为R满足rc2条件,根据命题1知存在中心幂等元e∈R使得M=D�E1�(F2�B1)=D�E2�(G2�B2)且E1e=0,E2(1-e)=0,显然有D�E1�F1�R�G1�D�E2,从而,De�Re,D(1-e)�R(1-e),故D=De�D(1-e)�Re�R(1-e)=R,从而R�E1�D�E1�F1�R,类似地有R�E2�R,故有M=(E1�F2)�(D�B1)=(E2�G2)�(D�B2),且E1�F2�Rk�E2�G2,根据归纳假设知存在t≥1,D2≤Mt使得Mt=D2�H1�(D�B1)t=D2�H2�(D�B2)t,且H1=0或H2=0,故有Mt=(Dt�D2)�H1�Bt1=(Dt�D2)�H2�Bt2,从而由归纳原理以及命题3知EndRRn满足cu2条件,即Mn(R)满足cu2条件.定理5设R满足rc2条件,则下列两款等价:(1)R满足cu2条件;(2)对任何S≈R,S满足cu2条件.证明(2)](1)因为RMorita等价于R,故R满足cu2条件.(1)](2)对任何S≈R,存在0≠e=e2∈Mn(R),使得S�eMn(R)e,由命题4知Mn(R)满足cu2条件,又根据命题2得S满足cu2条件.右R2模M称为满足幂比较条件,如果EndRM满足cu2条件...
