第2章 一维势场中的粒子VIP免费

第第22章一维势场中的粒子章一维势场中的粒子§2.1§2.1一维定态的一般性质一维定态的一般性质与空间有关的一维定态Schrödinger方程为：)()()()(2222xExxVdxxd（2.1）在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能V取实数，即V=V*。若对应于某个能量E，方程（2.1）只有一个解，则称能级E不简并。若对应于某个能量E，方程（2.1）不只一个解，则称能级E是简并的。)(x)(*x定理2.1：设是方程（2.1）的一个解，的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这组实解的线性叠加。对应的能量本征值为E，则也是方程（2.1）证明：方程（2.1）两边取复共轭，注意到V(x)=V*(x),E*=E,有)()()()(2**2*22xExxVdxxd可见也满足方程（2.1），对应的能量)(*x本征值也是E。若能级E不简并，则)(x和)(*x描述的是同一个量子态，故)()(*xcx。取复共轭，有1||)(||)()(22**cxcxcx取c=1，有),()(*xx)(x是实函数。是实解，则将它归入（2.1）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加若能级E简并，如果)(x实解的集合中。如果它是复解，则)(*x也是方程性定理，如下两个组合（组合后为实函数）：),()()(*xxx))()(()(*xxix是（2.1）同属于能量E，并彼此独立的解。)(x)(x定理2.2：设V(x)具有空间反射不变性，V(－x)＝V(x)。如果为方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为E，则也是方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组解,其中每一个都具有确定的宇称,而属于能量本征值E的任何解，都可表成这组解的线性叠加。证明：在方程（2.1）中作代换x→-x,注意到)()(xVxV有)()()()(2222xExxVdxxd)(x可见亦是方程的解。若能级E无简并，则)()(xx和描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个常数ｃ，)()()()()(2xcxcxxcx112cc所以有)()(1cxx偶宇称)()(1cxx奇宇称若能级E有简并，可令)()()(xxxf)()()(xxxg)(),(xgxf均为方程（2.1）的解，对应的能量本征值都为E，且有确定的宇称。此外，由定理２.1可知，总可将方程的解取为实函数。习题2.1在三维情况下证明定理2.1和定理2.2。定理2.3：对于阶梯形方势axVaxVxV,,)(21)(21VV有限时，连续；||21VV时，定理不成立。证明：由方程（2.1）有)())((2)(222xxVEdxxd（2.2）)(x在x=a的邻域对方程（2.2）积分，有aadx0lim)())((lim2)0()0(02xxVEdxaaaa即V(x)在x=a处发生突变，)(21VV有限时，上式右边积分为0，从而)(x在x=a处连续；||21VV上式右边的积分无法确定。§2.2§2.2一维无限深势阱和一维有限深势阱一维无限深势阱和一维有限深势阱1.一维无限深势阱V(x)0axaxxaxxV,0,0,0)(设质量为μ的粒子在势场中运动，求定态Schrödinger方程的解。解：由于势阱外)(xV不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波函数为零。即：,而能量有限的粒子),0(0)(axxx势阱内的Schrödinger方程为)0(2222axEdxd（2.3）令22Ek（2.4）则（2.3）简化为：0kdxd222其通解的形式为：kxBkxAxcossin)(由波函数的连续发性条件可得到0cossin)(0)0(kaBkaAaB......3,2,1,nank从而有,3,2,1,sin)(nxanAxn再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为a2A综上，一维无限深势阱波函数：,3,2,1,.,0,00,sin2)(naxxaxxanaxn,3,2,1,22222nanEn能级能级：（2.6）一维势阱中粒子波函数及概率图示(取a＝2)0.511.52x0.20.40.60.81y8n=,1<0.511.52x-1-0.50.51y8n=,2<……………………0.511.52x-1-0.50.51n300.511.52x0.20.40.60.812n300kdxd222ikxikxBeAex)()sin()(kxAx习题2.2方程的一般解亦可写为如...