第一章静电场第五讲九、等效法：介质的镜像九、等效法：电轴法例5-1真空中置一个点电荷q，大地为导体，求上半空间1）电位分布；2）电场分布；3）大地表面感应电荷分布；4）q受力解：物理过程分析：导体在外场的作用下达到静电平衡，空间各处电场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果关键：直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通！思路：间接求解的思路在于“方程+边界”问题：区域在、边界在哪里？一、镜向法●●图5.1感应电荷的电场上半平面任意点P（x,y,z）q1、点电荷的镜像一个问题，两种思路：∇2ϕ=0q点除外ϕ|r=∞=0例题、求点电荷q的电位所满足的微分方程和边界条件，并求解q图、点电荷的电场P(x,y,z)解：2222222sin1)(sinsin1)(1αϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇rrrrrr0)(122=∂∂∂∂⇒rrrrϕ0=⇒+=⇒BBrAϕ0041πεϕε=⇒=⋅∇−∫AqSdvQϕ●∇2ϕ=0q点除外ϕ|z=0,r=∞=0根据惟一性定理，等效方法：方程+边界1）、建立坐标系，水平向上为Z轴，大地平面为Z=0面。设电电荷q所在点的坐标为P0（x0,y0,z0），则根据镜向原理，镜向电荷电量为-q，所在点的位置为（x0,y0,-z0）-qq图5.3静象法P0(x0,y0,z0)P(x,y,z)P′0(x0,y0,-z0)P0(x0,y0,z0)P(x,y,z)q⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++−+−−−+−+−=21202020212020200])()()[(1])()()[(14),,(zzyyxxzzyyxxqzyxπεϕ如此，上半空间任意点P（x,y,z）的电位为：2）、P点的电场强度为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++−+−++−+−−−+−+−−+−+−=23202020000232020200000])()()[()()()(])()()[()()()(4),,(zzyyxxezzeyyexxzzyyxxezzeyyexxqzyxEzyxzyx))))))vπε●-q●qP0(x0,y0,z0)●P(x,y,z)P′0(x0,y0,-z0)200223200200200000000016])()()[()()()(4zeqzzyyxxezzeyyexxqqEqFzzyx))))vvπεπε−=++−+−++−+−−==)])()[(2),(2320202000000zyyxxzqkEnEEDyxznn+−+−−=====•=•πεεεσ)v)vqzrzqrdrzrzqdxdyyxq−=∞+=+−==′∫∫∞0)(2)(2),(2120200232020ππσ4）、点电荷q受力为3）、大地表面的感应电荷面密度、大地的感应电荷图1.7.1平面导体的镜像（方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为−++=EEEpθπεcos20pr4q2E=23220xh2qh/)(+πε=2322p0pxh2qhE/)(+π−=ε−=σxdx2xh2qhdS02322Spπ⋅+π−=σ∫∫∞/)(∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=02122xh1qh/)(q−=例1.求空气中一个点电荷在地面引起的感应电荷分布情况。q解:设点电荷离地面高度为h，则q图1.7.2点电荷在地面引起的感应电荷的分布q2.不同介质分界面的镜像边值问题：012=ϕ∇022=∇ϕ(下半空间)(除q点外的上半空间)''''''qqqqqq211=−=+εεε图1.7.9点电荷对无限大介质分界面的镜像21ϕϕ=zz∂∂=∂∂2211ϕεϕεθπθπθππεπεπεsin4''sin4'sin44''4'4222211rqrqrqrqrqrq=−=+q'q2121εεεε+−=q2''q212εεε+=和3.导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)边值问题：（除q点外的导体球外空间)000r2===∇∞→导球面ϕϕϕ0r4qr4q2010p=−=πεπεϕ'θθcos2cos222222221RbRbrRdRdr−+=−+=0bqdqR2RdqRbq22222222=−++−+θcos)'()](')([0bqdq0RdqRbq22222222=−=+−+')(')(qdRqdbqdRb2==='球面上任一点电位为位于球内设镜像电荷,q′−2)图1.7.3点电荷对接地导体球面的镜像由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为2010pr4qr4qπεπεϕ'−=)(210r1dRr14q⋅−=πε21r220r210Pdr4qRr4qeeEπεπε−=图1.7.5点电荷位于接地导体球附近的场图镜像电荷不能放在当前求解的场域内。镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4接地导体球外的电场计算在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解:边值问题：(除q点外的导体球外空间）0d000Ssr2=⋅≠===∇∫∞→SD常数球面ϕϕϕ(S为球面面积)例2试计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。q任一点电位及电场强度为：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41+−=′+′−=πεπεϕ)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeE+−=πεqdprr1r2+q'-q'Rob图1.7.6点电荷对不接地金属球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。•∫=⋅S,0dSD正负镜像电...
