第五讲 中值定理的证明技巧

第五讲 中值定理的证明技巧一、 考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理）并会应用这些性质。2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。掌握这四个定理的简单应用（经济）。3、 了解定积分中值定理。 二、 内容提要1、 介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值. （2）零点定理设 f(x)在[a、b]连续，且 f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c(a、b)，使得 f(c)=02、 罗尔定理若函数)(xf满足：（1）)(xf在ba,上连续（2）)(xf在),(ba内可导（3）)()(bfaf则一定存在),(ba使得0)('f3、 拉格朗日中值定理若函数)(xf满足：（1）)(xf在ba,上连续（2）)(xf在),(ba内可导则一定存在),(ba，使得))((')()(abfafbf4、 柯西中值定理若函数)(),(xgxf满足:（1）在ba,上连续（2）在),(ba内可导（3）0)('xg则至少有一点),(ba使得)(')(')()()()(gfagbgafbf5、 泰勒公式如果函数)(xf在含有0x 的某个开区间),(ba内具有直到1n阶导数, 则当 x 在),(ba内时, )(xf可以表示为0xx 的一个n 次多项式与一个余项)(xRn之和，即)())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR ( 介于0x 与x 之间).在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1．展开的基点；2．展开的阶数；3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．6、 积分中值定理 若 f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点 c∈[a、b]，使得ba f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在 使0)(f或方程 f(x)=0 有根）方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.思路：1）直接法 2）间接法或辅助函数法例 1、设)(xf在[a,b]上连续，),,2,1(0,21nicbxxxain，证明存在],[ba ，使得 nnncccxfcxfcxfcf212211)()()()(例 2、设)(,0xfab在[a,b]上连续、单调递增，且0)(xf，证明存在),(ba使得 )(2)()(222 fafbbfa*例 3、设)(xf在[a,b]...