泊松方程和边界条件VIP免费

),,2,1(2miii一、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为，它们满足泊松方程iSSnSndSnQSSS两类边界条件：①边界S上，为已知，若为导体=常数。②边界S上，为已知，给定（）定总电荷Q。它相当于若是导体要给ijijSiiSjjnn内边界条件为边值关系注：在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体面上的边界条件可视为外边界条件。ijijSjSiijijSiiSjjnnnji：V内两介质分界面上自由电荷为零二、唯一性定理1．均匀单一介质2电场）唯一确定。S分布已知，满足若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静区域内Sn证明：211222假定泊松方程有两个解，有S1S2SSn1Sn2在边界上Sn21令022122SnSn102Sn由格林第一公式VSSddV)(2021SSS令则VSSddV))((2202VdV0)(20SSSd0由于0)(2积分为零必然有021常数0S21（1）若给定的是第一类边值关系即常数为零。电场唯一确定且电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场0Sn2121,E（2）若给定的是第二类边值关系常数，相差一个常数，是唯一确定的。2.介质分区均匀（不包含导体）i2SSnijijSjSiijijSiiSjjnn已知，成立，给定区域或。在分界面上，或V内（证明见书P．60）sv123区域V内电场唯一确定3.均匀单一介质中有导体（证明见教材）Q2Q1εSS1S2V（或Q1、Q2）为已知，则区域VSSn1Sn2Sn已知，或、内电场唯一确定。当0E，求内的电势。导体中VdSnQs三、唯一性定理的意义2.更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。1.唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。四、应用举例1.半径为a的导体球壳接地壳内中心放置一个点电荷Q，求壳内场强。0S解：点电荷Q放在球心处，壳接地02)0(R因而腔内场唯一确定。Q0S不满足已知点电荷产生的电势为RQ014aQS014但它在边界上要使边界上任何一点电势为0，RQ04aQ04设020S它满足根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。)(430aRRRQE可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷Q有关。Q解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势坐标与,无关。0因电荷分布在有限区，外边界条件导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。设BRA3RRARA)(03aRRRA02R0R0B满足，2.带电荷Q的半径为a的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势分布。在导体边界上SSaRAaaAdSRAdSRQ442223．两种均匀介质（和）充满空间，一半径a的带电Q导体球放在介质分界面上（球心在界面上），求空间电势分布。1212aQ)(44aRRQQA)(43aRRRQEEEEnP),(120利用QQP)1(021RQ4场对称对称性分析：21场仍对称！在两介质分界面上：021nnEE012pnnEE0p束缚电荷只分布在导体与介质分界面上。对于上半个空间，介质均匀极化，场具有对称性，同样下半空间也具有对称性。而在介质分界面上，所以可考虑球外电场仍具有球对称性。21EE...