第八章 多属性效用理论VIP免费

第八章多属性效用理论(Multi-attributeUtilityTheory)主要参考文献:92,68,86,118,129§8.1优先序一、二元关系1.无差异(Indifferentto)～2.(严格)优于(Strictpreferenceto)3.不劣于(preferenceofindifferenceto)可以用定义～，：A～BAB且BAABAB且非BA因此，在任何决策问题中，是偏好结构的基础，有必要假设关系的存在。至于是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决策问题简化为各方案属性的比较和排序。但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。二、二元关系的种类(用R表示二元关系)传递性，若xRy,yRz则xRz自反性reflectivity:xRx非自反性：(Irreflexivity)非xRx对称性(Symmetry)若zRy,则yRx非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x=y连通性(connectivity)completeness,Comparability对x,y∈XxRy或/和yRx任何次序关系必须满足传递性.传递性看似合理，实则不然，例如，20.000～20.00120.001～20.002…99.999～100,但是20≠100连通性在仔细验证前也不能假设其成立,因为存在不可比方案;但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立.连通性传递性完全序§8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3XRN,是X上的弱序，且①xyX,若x≥yxy;②xyzX,,若xyz则必存在唯一的0＜λ＜1使y～λx+(1-λ)z;则存在定义在X上的实值函数v，满足xyv(x)＞v(y)xyv(x)=v(y)Note:1.条件①为单调性(Monotonicity),即支配性(dominance):只要某一属性值增加偏好也1增加.2.条件②为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3.v(x)=f(vxvxnn11(),,())f的形式通常十分复杂，即使vxii()为线性v的形式仍十分复杂.例：x1,x2的价值函数为线性,即:v1=k1x1v2=k2x2且k2=1.5k1,但是v(x)≠v1(x1)+v2(x2)因此,价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数1.定义：若v(y)=vyiini1(),则称价值函数V(y)是加性的2.加性价值函数的存在条件定理8.6(P133)(n≥3)定义在YRN上的价值函数v(y)=v(yyn1,,)对任何y’,y”∈Y,y’y”iffv(y’)≥v(y”)则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Yi,i=1,…,n上的实值函数vi使y’y”v1(y1’)+…+vn(yn’)≥v1(y1”)+…+vn(yn”)3.互相偏好独立的定义：属性集Ω称为互相偏好独立,若Ω的每个非定正常子集Θ偏好独立于其补集(Ω=ΘU)4.属性集Ω的子集Θ偏好独立于其补集的定义(P130定义8.2)当且仅当：对特定的yY若(y’,y0)(y”,y0)则对所有yY必有(y’,y)(y”,y)称属性集Ω的子集偏好独立于其补集.5.两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)消去条件对x1,y1,a1Y1,x2,y2,a2Y2有(x1,a1)(a1,y2),(a1,x2)(y2,a2)则必有(x1,x2)(y1,y2)则称满足消去条件.Thomson条件将消去条件中的改为～.三、其他简单形式1.拟加性：2v(y)=kvyiiini1()+jinijiinijjkvyvy1()()+kjnjinijkiinijjkkkvyvyvy1()()()+…+kn12v1(y1)…vn(yn)条件Yii=1,2,…,n弱差独立于其补集Yi(详见p135,定义8.7)2.乘性(pp136-137)若属性集Ω的每个非室子集Θ弱差独立于其补集,则v(y)=kvyiiini1()+kkkvyvyijinjiinijj1()()+k2kkkvyvyvyijkjnjinkiinijjkk1()()()+…+kkkknn112v1(y1)…vn(yn)§8.3多属性效用函数一、二个属性的效用函数·后果空间X×Y，后果(x,y)，设决策人在X×Y上的偏好满足公理(1)～(6)，则可用形如v(x,y)=vX(x)+vY(x)的加性效用函数表示后果空间上的偏好(确定性条件下)·设决策人关于X×Y空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和v(x,y)代表了X×Y上相同的偏好，u(x,y)=φ(v(x,y)).其中φ(·)是保序变换·决策人的行...