第七章尺度空间VIP免费

第七章尺度空间在不同的应用背景中，图像的光滑程度是不同的，是经过不同程度的图像光滑而得到的，将这些图像光滑变换有机的结合起来，就形成了抽象框架——尺度空间。前面讨论的是单个变换的性质，现在讨论尺度空间中一族图像变换所具有的特性。首先，尺度空间赋予两个方面的限制条件：一方面与尺度空间的结构有关，包括规则性、局部比较原则和金字塔结构。另一方面的限制与不变性有关，包括平移不变性、伸缩不变性、欧氏不变性和仿射不变性以及灰度平移不变性和对比不变性，依次讨论在不同限制条件下尺度空间所具有的特性。另外，尺度空间具有一个重要的特征——被一个偏微分方程所控制。7.1尺度空间的定义尺度空间（scalespace）是一个抽象的框架，从算法的观点看，是滤波器的迭代。在这个框架中，可以分析滤波器迭代所具有的逼近性质，对滤波器进行分类。例如，所有的线性滤波器都可以归为一类，因为所有的线性滤波器局部化和迭代后都收敛于同一个结果——热传导方程初值问题的解。定义1：一族以t≥0为参数的图像光滑算子Tt称为一个尺度空间，记为{Tt}t∈R+，其中t称为尺度参数。对于一副图像u0(x)，称Ttu0是图像在u0在尺度t的映像，尺度参数t定量的反映图像被光滑的程度。在尺度空间上定义一个性质比较好的代数结构：定义2：称尺度空间具有金字塔（pyramidal）结构，如果T0=id，任取t，h，存在Tt+h,t，使得Tt+h=Tt+h,tTt，其中Tt+h,t被称为转移算子，id是图像的恒等变换。图刻画了此结构，说明光滑程度较大的Tt+su0可以在尺度空间{Tt}t∈R+中沿一条光滑图像所组成的路径Ttu0(ts)﹤到达。Tt+sTt+s,tTtTt+su0u0Ttu0如果Tt+h,t=Th，则该尺度空间就构成了一个有恒等元（图像的恒等变化）的半群。定义3：尺度空间{Tt}t∈R+是递归的（recursive），如果对于任意的s,t﹥0和图像uT0=id和Tt+s(u)=Ts。Tt(u)如果满足递归条件，那么Tt可以Tt/n迭代n次得到。所有的运算都是对图像信息作组合，没有其它的特征在这个过程中加入进来，所以参数t越大，图像内容就越简单，即，图像u0在尺度s﹥t的映像Tsu0比Ttu0‘简单’。例：前面把热传导方程初值问题在t时刻的解作为图像光滑算子，记为Rt。不同时刻的Rt就组成一个尺度空间{Rt}t∈R+，Rt(u0)就是‘图像u0在尺度空间{Rt}t∈R+中尺度t的映像’，记方程在t时刻的解为ut，在t+s时刻的解为ut+s，容易证明ut+s也是下面方程s时刻的解，满足定义3。0(,)(,)(0,)()utxutxtuxux(,)(,)(0,)()tutxutxtuxux7.2尺度空间的性质再为尺度空间加上一些限制条件，一部分是由图像变换所必须满足的一些基本性质转化而成的，另一部分是为了导入偏微分方程作为分析尺度空间的数学工具而特别添加的。定义4：设x,y为图像中的点，y在x的某一邻域中。如果两幅图像u,v满足u(y)v(y)﹥，那么存在足够小的h满足(Tt+h,tu)(x)≥(Tt+h,tv)(x)如果对于任意点x∈式都成立，则称尺度空间{Tt}t∈R+满足局部比较原则（localcomparisonprinciple）。如果尺度空间{Tt}t∈R+满足局部比较原则，那么经过一个很短的‘时间’h后，图像u局部比v亮（灰度值大）的这种特性依然得到保留。为导入偏微分方程提出下面的定义，首先约定一个记号<,>表示内积，即对于图像支撑集中的两点x=(x1,x2),y=(y1,y2)=x1y1+x2y2定义5：假设y在x的某个邻域中，具有u(y)=1/2·++c*形式的函数u被称为是一个二次式，其中A是一个2×2的对称矩阵，p是一个2维向量，c为一个常数。称尺度空间是规则的（regular），如果存在一个函数F(A,p,x,c,t)，它对于A是连续的，并且(Tt+h,tu-u)(x)∕h→F(A,p,x,c,t)当h→0**定义说明：（1）根据图像模型的假设uC∈2，那么图像可以作以下的展开u(y)=u(x)++1/2·+o(|x-y|2)*式中二次式u的特殊之处就是o(|x-y|2)为0，**成立也仅仅局限于二次式（2）F拥有5个自变量A,p,x,c,t，实质却是9个实数自变量。其中对称矩阵A包含3个实参数；一个二维向量p包含2个实参数；常数c是一个实参数；一个二维点x包含2个实参数；正的尺度参数t是一个实参数。定义6：称尺度空间是因果的（causal），如果它是规...