问题19数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与nS有关的最值、求满足数列的特定条件的n最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.二、经验分享(1)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据an＋1an(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2)最大值与最小值：若an≥an＋1，an≥an－1，则an最大；若an≤an＋1，an≤an－1，则an最小.(3)求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n项和的最值.三、知识拓展已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，①若0d，nS有最小值，若，则kS最小，若0ka则1,kkSS最小；①若0d，nS有最大值，若，则kS最大，若0ka则1,kkSS最大。四、题型分析(一)求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是：(1)利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1(n≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1(n≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{na的通项公式为na=2156nn,求}{na的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足11nnnnaaaa的n的值.【解法一】基本不等式法.，120S，则当0nS时，n的最大值为11，故选A(三)求满足数列的特定条件的n的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知na的前n项和为，且145,,2aaa成等差数列，，数列nb的前n项和为nT，则满足20172018nT的最小正整数n的值为（）A.8B.9C.10D.11【分析】先求和，再解不等式.【答案】C【解析】，当2n时，，由145,,2aaa成等差数列可得，即，解得2m，故2nna，则，故，由20172018nT得，即122019n，则111n，即10n，故n的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（）A．338B．337C．336D．335【答案】D(四)求满足条件的参数的最值【例4】已知nS为各项均为正数的数列na的前n项和,.（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa,数列nb的前n项和为nT,若对恒成立,求实数t的最大值.【分析】(1)首先求得1a的值,然后利用na与nS的关系推出数列{}na为等差数列,由此求得na的通项公式；(2)首先结合（1）求得nb的表达式,然后用裂项法求得nT,再根据数列nT的单调性求得t的最大值．(2)由32nan,可得.因为,所以1nnTT,所以数列nT是递增数列,所以,所以实数t的最大值是1.【点评】(1)求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}na中每一项na均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}na的通项公式为11nan,前n项和为nS,若对任意的正整数n,不等式恒成立,则常数m所能取得的最大整数为.【答案】5【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是()A．62B．63C．126D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则，由于，故：，解得：，∴当n∈[1,44]时,{an}单调递减,当n∈[45,100]时,{an}单...
