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离散数学刘任任版课后习题答案 习题21《环与域》 VIP免费

离散数学刘任任版课后习题答案 习题21《环与域》 _第1页
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离散数学刘任任版课后习题答案 习题21《环与域》 _第2页
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1《离散数学》刘任任(第二版)习题答案第21章环与域1、设实数集R中的加法是普通的加法,乘法定义如下:Rbababa,,||试问R是否构成环?解:不构成环。因这里乘法对加法不满足分配律。例如()()21212122而()2212221262.设整数集Z中的加法是普通数的加法,乘法定义为Zbaab,,0,试问Z是环吗?解:Z是环。因对于加法Z构成一个交换群,对于乘法Z满足结合律,且乘法对加法可分配:(),,()abcacbcabcZcabcacb0000003.已知实数集R对于普通加法和乘法是一个含幺环,对任意Rba,,定义21ababababab试证:R对运算和也形成一个含幺环.证明。因为()()()()abcabcabcabcabcabc111111所以,满足结合律。又因为ababbabaaaaaaaaa111111221()()所以,满足交换律,零元是1,a的负元为2a以上说明是一个交换群。再因为()()abcabcabc()()ababcababcabcabacbcabcabcabcabc()()()abcbcabcbc()3abcbcabacabcaaaaaaaa000000所以,是可结合的,且有幺元0。最后,abcabcabc()()()abcabc11()21abcabac()()abacabacababacacabcabac1121即对是可分配的。故结论成立。4、一个环R,如果对乘法来说,每个元素Ra均满足aaa,则称R为布尔环,试证:(1)集合S的子集环是布尔环.(2)布尔环的每个元素是都以自己为负元.(3)布尔环必为交换环.(4)2||R的布尔不可能是整环.4证明。(1)集合S的幂集()S对于集合的对称差运算和交运算作成一个环,即子集环。且AAAAS,()故子集环是布尔环。(2)由布尔环之定义,对任意aR,有aaaaaaaaaaaaaaaaaa()()因此,aa0.(3)由布尔环之定义,有abababaaabbabbaabbab()()因此,abba0,即abbaba.故布尔环是交换环。(4)如果R不含幺元,则R不是整环;如果R含幺元1,则因R2,故R中存在元素a,aa01,,于是()aaaaaaa105故a和a1都是零因子,从而R不是整环。5.试证:若R是环,且对加法而言,R是循环群,则R是交换环.证明:设的生成元为a,则对R中任意的rr12,,存在整数nn12,,使得rnarna1122,于是rrnanannaarrnanannaa121212212112()()()()从而,rrrr1221,故R是交换环。6.设R和R是两个环,定义R到R的映射如下:0)(aRa其中0是R的零元,试证明是R到R的同态映射(称为零同态).分析:利用环中零元的性质,证明满足同态的定义17.5.1。证明:在R中任取ab,则有()',()()'''()',()()'''abababab000000006从而()()()()()()abababab()()()()()()abababab故该映射是R到R的同态映射。7.设},,|0{ZcbacbaA,已知A关于矩阵加法和乘法构成环,令}|000{ZddS(1)试证:S是A的子环.(2)给出A到S的一个同态映射.(3)求同态核Ker().证明:(1)在Z中任取xy,有000000000000000000xyxySxyxyS故S是A的子环.7(2)令fabccabcA00000,易知,f是A到S的满射,且fabcabcfaabbccccccfabcfabcfabc1112221212121212111222111000000000000000abcfaaabb...

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