刷题增分练29空间向量与立体几何刷题增分练○29小题基础练提分快一、选择题1．[2019·台州模拟]在空间直角坐标系O－xyz中，z轴上到点A(1,0,2)与点B(2，－2,1)距离相等的点C的坐标为()A．(0,0，－1)B．(0,0,1)C．(0,0，－2)D．(0,0,2)答案：C解析：设C(0,0，z)，由点C到点A(1,0,2)与点B(2，－2,1)的距离相等，得12＋02＋(z－2)2＝(2－0)2＋(－2－0)2＋(z－1)2，解得z＝－2，故C(0,0，－2)．2．设三棱锥OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点G是△ABC的重心，则OG→等于()A．a＋b－cB．a＋b＋cC.12(a＋b＋c)D.13(a＋b＋c)答案：D解析：如图所示，OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋13(AB→＋AC→)＝OA→＋13(OB→－OA→＋OC→－OA→)＝13(a＋b＋c)．3．已知A∈α，P?α，PA→＝－32，12，2，平面α的一个法向量n＝0，－12，－2，则直线PA与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．150°答案：C解析：设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝cos〈PA→·n〉＝|PA→·n||PA→||n|＝14＋21＋2·14＋2＝32. θ∈[0°，90°]，∴θ＝60°，故选C.4．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的三视图如图所示，则异面直线D1C与AC1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：D解析：由三视图可知几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两底边长分别为1,2，高为1，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2.连接DC1，易得AD⊥D1C，DC1⊥D1C，AD∩DC1＝D，所以D1C⊥平面ADC1，所以D1C⊥AC1，所以异面直线D1C与AC1所成的角为90°.5.[2019·衡阳模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为()A.33B.32C.22D.12答案：D解析：连接AC，B1C， E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴∠B1AC为异面直线EF与AB1所成的角．在△AB1C中， AB1，AC，B1C为面对角线，∴AB1＝AC＝B1C，∴∠B1AC＝π3，∴cos∠B1AC＝12.6．[2019·陕西质检]已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cosθ＝()A．－154B.154C．－14D.14答案：D解析：解法一取BC的中点O，连接OA，OD，所以OA⊥OC，OD⊥OC，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以OA⊥平面BCD，所以OA，OD，OC两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，因为AB＝4，所以B(0，－2,0)，D(23，0,0)，C(0,2，0)，A(0,0,23)，所以AB→＝(0，－2，－23)，CD→＝(23，－2,0)，则cosθ＝AB→·CD→|AB→|·|CD→|＝0×23＋－2×－2＋－23×002＋－22＋－232×232＋－22＋02＝416＝14.解法二如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连接OA，OE，OF，EF，则OE∥CD，OF∥AB，则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角，依题得OE＝12CD＝2，OF＝12AB＝2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝12OA＝3，G为OC的中点，则OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，所以由余弦定理得EG＝OG2＋OE2－2OG·OEcos∠EOG＝12＋22－2×1×2×cos120°＝7，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝(3)2＋(3)2＝10，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝OE2＋OF2－EF22OE·OF＝22＋22－102×2×2＝－14，因为θ＝0，π2，所以cosθ＝14.7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：由已知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(3，0,0)，D32，12，a，E(0,0，a)，所以ED→＝32，12，0，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，cos〈ED→，n〉＝ED→·n|ED→||n|＝12322＋122＋02×1＝12，〈ED→，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.8．已知二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．120°D．60°答案：D解析：如图，AC⊥AB，BD⊥AB，过A在平面ABD内作AE∥BD，过D作DE∥AB，连接CE，所以DE∥AB且DE⊥平面AEC，∠CA...
