习题2答案习题2.写出完成如下平面图形变换的变换矩阵；(1)保持点（5，10）固定，方向放大3倍，方向放大2倍。(2)绕坐标原点顺时针旋转。(3)对直线成轴对称。(4)对直线成轴对称。(5)沿与水平方向成角的方向扩大倍，沿与水平方向成角的方向扩大倍。(6)对于平面上任意一点成为中心对称。(7)对平面上任意一条方程为的直线成轴对称。解答：(1)变换矩阵如下：(2)变换矩阵如下：(3)变换矩阵如下：(4)变换矩阵如下：(5)变换矩阵如下：(6)变换矩阵如下：(7)变换矩阵如下：对平面上任意一条方程为的直线成轴对称当时，或者当时，习题5答案习题5.举例说明由平移、比例或旋转构成的组合变换一般不能交换变换的次序，说明什么情况下可以交换次序。平移与比例不能交换变换的次序解答：平移与比例不能交换变换的次序，如下：平移与旋转不能交换变换的次序，如下：当时，比例与旋转不能交换变换的次序，而当时，比例与旋转可以交换变换的次序，如下：即如果组合变换由一系列比例和旋转变换组成，并且比例变换中，则可以交换变换次序。习题7答案习题7.平面上两点P和V的齐次坐标是（）和（），验证过这两点的直线采用齐次坐标的方程是：解答：P和V两点的齐次坐标规范化得：，设直线过P，V两点的直线上的任意一点的齐次坐标为，则它的规范化结果为可得过P，V两点的直线方程为：得到过P，V两点的采用齐次坐标的方程为证明完毕习题12答案习题12.若已知某一正方形显示器的坐标范围是以dxmin、dxmax、dymin和dymax规定的矩形区，且(dymax–dymin)=3/4(dxmax-dxmin)，为保证图形不失真并充分利用显示区，请写出自用户坐标至该显示器坐标的视见变换矩阵。解答：设用户坐标区的坐标范围是以wxmin、wxmax、wymin和wymax规定的矩形区域。为保证图形在此显示器上显示不失真，其视见变换矩阵如下：k如下确定：设，，(1)若，因为有，所以有，所以有，则；(2)若，即，则习题15答案习题15.给出三维空间中通过原点和点的一条直线，试用下面提示的三种不同方法把这条直线旋转到正的z轴上，说明求出的三个变换矩阵可能不同，但就完成要求表换得效果看是相同的。（1）绕x轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴；（2）绕y轴旋转到yz平面，然后绕x轴旋转到z轴；（3）绕z轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴。解答：(1)绕x轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴(2)绕y轴旋转到yz平面，然后绕x轴旋转到z轴xzyαβ(x1,y1,z1)(x1,0,v)O(3)绕z轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴xzyαβ(x1,y1,z1)(0,y1,v)O通过上面可知，虽然三个变换矩阵不同，但是都变换成，所以效果是相同的。xzyαβ(x1,y1,z1)(v,0,z1)O习题17答案习题17.求完成如下空间图形变换的变换矩阵：(1)图形中点（0.5，0.2，-0.2）保持不动，和方向放大3倍，方向不变。(2)产生与原点对称的图形。(3)产生对平面对称的图形。(4)绕过原点和（1，1，1）的直线旋转。(5)绕过（0，0，1）和（-1，-1，-1）两点的直线旋转。解答：(1)变换矩阵如下：(2)变换矩阵如下：(3)变换矩阵如下：(4)在以过坐标原点的任意直线为旋转轴作旋转变换的变换矩阵中代入向量值及旋转角度，得变换矩阵如下：(5)利用（4）中的变换矩阵加以平移，得变换矩阵如下：习题19答案习题19.设三维空间有一个平面，其方程为Ax+By+Cz+D=0，要通过平移和旋转组合的变换，使其重合于z=0坐标平面，求变换矩阵。解答：设给定平面与x轴的交点为P1，与y轴的交点为P2，与z轴的交点为P3。如上图所示，根据平面方程，可知与三个坐标轴的交点坐标，分别为从P2点作线段P1P3的垂线，与P1P3的交点为P4。设为，为将指定平面变换到与z=0坐标平面重合，可以通过以下步骤完成：P4OP1P3P2zxyP4OP1P3P2zxy首先，做平移，使P3点与原点O重合，如上图所示。然后，做旋转，使P3P1重合于x坐标轴，如下图所示。最后，做旋转，使P2点也落入z=0坐标平面中，此时P1，P2，P3三点都在z=0坐标平面中，原始平面重合于z=0坐标平面。即变换矩阵为：因为有： ，，所以有变换矩阵为：根据第一幅图所示，可以计算出三角函数值：P4OP1P3P2zxy P1P3的长度为，OP3的长度为，OP1的长度为∴， ∴OP4的长度为，同时OP2的长度为∴P2P4的长度为∴...
