静电场(Ⅲ)VIP专享VIP免费

第五讲、静电场（Ⅲ）§1.7静象法§1.6电阻法一、镜向法例5-1真空中置一个点电荷q，大地为导体，求空间任意点处1）电位分布；2）电场分布；3）大地表面感应电荷分布；4）q受力解：物理过程分析：导体在外场的作用下达到静电平衡，空间各处电场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果关键：直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通！思路：间接求解的思路在于“方程+边界”问题：区域在哪里？边界在哪里？●q●图5.1感应电荷的电场上半平面任意点P（x,y,z）图5.2上半空间边界R=∞Z=0Z∇2ϕ=0q点除外ϕ|z=0,r=∞=0根据惟一性定理，等效方法：方程+边界●-q●q图5.3静象法（等效法）P0(x0,y0,z0)●P(x,y,z)P′0(x0,y0,-z01）、建立坐标系，水平向上为Z轴，大地平面为Z=0面。设电电荷q所在点的坐标为P0（x0,y0,z0），则根据镜向原理，镜向电荷电量为-q，所在点的位置为（x0,y0,-z0）如此，上半空间任意点P（x,y,z）的电位为：2）、同理，P点的电场强度为：3）、计算大地的感应电荷，大地表面的感应电荷面密度：大地表面的总感应电荷为：����������++−+−−−+−+−=21202020212020200])()()[(1])()()[(14),,(zzyyxxzzyyxxqzyxπεϕ����������++−+−++−+−−−+−+−−+−+−=23202020000232020200000])()()[()()()(])()()[()()()(4),,(zzyyxxkzzjyyixxzzyyxxkzzjyyixxqzyxEπε)])()[(2),(2320202000000zyyxxzqkEnEEDyxznn+−+−=====•=•πεεεσqzrzqrdrzrzqdxdyyxq−=∞+−=+==′∫∫∞0)(2)(2),(2120200232020ππσ4）、点电荷q受力为问题：大地受到的点电荷q的吸引力为多少？200223200200200000000016])()()[()()()(4zkqzzyyxxkzzjyyixxqqEqFπεπε−=++−+−++−+−−==二、电轴法①问题的提出：平行双线系统是电力传输的重要途径空气中平行地放置两根长导线，半径分别为a2=10cm、a1=6cm，两轴线间距为20cm。若导线间加压为1000伏，求：1）空间电位分布；2）两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最大值；5）两根长导线单位长度的最大值；解：思考模式：“方程+边界”∇2ϕ=0ϕ(r=3)-ϕ(r=5)=1000U=1000va1a2d•-ττ••Xr2r1P(x,y,z)（-b,0）（b,0）例5-2：求空间线密度分别为τ、-τ的两根长直线电荷分布在空间所产生的电位分布和电场分布解：分析：什么是平行平面场？是二维场，如图实质上，在z方向上，相同（x、y）坐标处电场和电位完全一样)ˆˆ(2ˆ2ˆ222112211000rrrrErrErrE+⇒−===πετπετπετττ12ln20rrcldEQPπετϕ+==∫•以原点为“零”电位点（5.2）空间等位线轨道方程为：21222212)()(ln2ln200������+−++===∫•ybxybxrrldEPπετπετϕ原点krr=12222bah+=令圆轨道半径为a2)()(1211)()(222222222212bKKybKKxkybxybxrr−=+−+−=+−++=令轨道圆心坐标为h（5.3）表明空间等电位点所组成的轨迹是圆轨导，当轨道上点到两轴点比值为K时，该轨道对应的圆心坐标值，圆半径分别为箭头所指项（5.3）•-ττ•Xr2r1P(x,y,z)(-b,0)(b,0)•图5.4等效电轴••••••21222212)88.5()88.5(ln2ln200������+−++==yxyxrrπετπετϕ例5-3：空气中平行地放置两根长导线，半径分别为a2=10cm、a1=6cm，两轴线间距为20cm。若导线间加压为1000伏，求：1）空间电位分布；2）两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最大值；5）两根长导线单位长度的相互作用力；解：解：1）求解电轴电位分布的关键在于定电轴88.564.84.86.112202.320221212122212222222121212≈−=⇒�����==+=⇒+−=−⇒����+=+==+bhhhhaahhbahbahhh电位分布：以r1、r2表示空间任意点到小、大导体柱等效电轴的距离，则该点电位为设空间任意点距大柱中心距离为r2，小柱中心距离为r1，以轴心点为零电位参考点，则该两导体柱电位差为U=1000va1a2dbb1111)()(222110maxahxahxnirrrrnED−=−=−⋅−=⋅==πτεσ������−+−+−+−+=⇒•22221111ln100020ahbhabhbaabhπετ������−+−+−+−+===•22221111ln210000ahbhabhbaabhUCπεττ2)、单位长度电容为3)、电场分布为)(ln1000)(2222211111122110rrrrahbbahrrrrE−+−+−=−=πετ4)、电荷密度最大值一定位于小柱的内侧)11(211bahahb+−++−=πτ������−−−−−−−−−−−−−==−−+)]([)()(ln)()()(ln21000222211110ahbbahahbbahπετϕϕ5)、两根长导线单位长度的相互作用力bahbhabhbaabhbqEF02222211110]ln1000[2121πεπεττ������−+−+−+−+=⋅⋅⋅==•第五讲课后作业：P83页：①、1-25P86页：②、1-26P86页：③、1-29