函数凹凸性的应用VIP免费

函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()fx在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x,2xI（12xx）.曲线()yfx上任意两点11(,())Axfx,11(,())Bxfx之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)xxx,()fx的值小于或等于弦AB在x点的函数值,弦AB的方程211121()()()()fxfxyxxfxxx.对任意12(,)xxx有,整理得21122121()()()xxxxfxfxfxxxxx.令221()xxtxx,则有01t,且12(1)xtxtx,易得1211xxtxx,上式可写成1212[(1)]()(1)()ftxtxtfxtfx1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。设（1）则称为上的凸函数。若（2）则称为上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号反向，则分别称为上的凹函数与严格凹函数。显然，为上的（严格）凸函数是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别法，就不难得到凹函数的相应的判别法。直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据：若在内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：1.。其几何意义是“现在曲线的上方”;2.其几何意义是“切线在曲线的下方”；3.；4.定义2设曲线y＝f(x)在点()处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称()为曲线y＝f(x)的拐点.必须指出；若()是曲线y=f（x)的一个拐点,y＝f(x)在点的导数不一定存在,如在x＝0的情形.1.2凸函数的特征引理f为I上的凸函数对于I上任意三点总有：(3)()fx严格凸函数上式严格不等式成立.证记3231xxxx,则01及213(1)xxx,由f的凸性知213()()(1)()fxfxfx3221133131()()xxxxfxfxxxxx(4)从而有312321213()()()()()()xxfxxxfxxxfx即322212321213()()()()()()()()xxfxxxfxxxfxxxfx整理即得(3)式.13,xxI13()xx,(0,1)记213(1)xxx,则123xxx,3221xxxx由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,xxxI,123xxx,有31212131()()()()fxfxfxfxxxxx()fx严格凸函数上式严格不等式成立.定理设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点.应用引理得到．令,则,．显然,上述L与中的点无关,故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f是I上的可导函数,则进一步有：1.3、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题）设f为区间I上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为I上的凸函数；（2）为I上的增函数；（3）对I上的任意两点总有证(i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论．(iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f在I上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系）设f为I上的二阶可导函数,则在I上f为凸（凹）函数（）,.f为严格凸1）()0fx；2）()fx不在I上的任一子区间上恒为零....