第三节变量间的相关关系与统计案例1．会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系．2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程．3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．1．相关性(1)线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，此时可用一条直线来近似．(2)非线性相关：若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关，此时可用一条曲线来拟合．(3)不相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．2．最小二乘法(1)最小二乘法：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)……，，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2……＋＋[yn－(an＋bxn)]2使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx即所求直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回归方程：线性回归方程为y＝bx＋a，其中b＝niiniiixnxyxnyx1221，a＝－b.3．相关系数r(1)r＝niiniiniiiyyxxyyxx12121)()())((＝.(2)当r＞0时，称两个变量正相关．当r＜0时，称两个变量负相关．当r＝0，称两个变量线性不相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度越高；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．4．独立性检验(1)2×2列联表：设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝A1；变量B：B1，B2＝B1，通过观察得到下表所示的数据：BAB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据．(2)独立性判断方法：选取统计量χ2＝，用它的大小来检验变量之间是否独立．①χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；②χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；③当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；④当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．相关关系和函数关系有何异同点？提示：(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系；②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．1．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝()x0134y2.24.34.86.7A．3.25B．2.6C．2.2D．0解析：选Bx＝2，y＝4.5，因为回归方程经过点(x，y)，所以a＝4.5－0.95×2＝2.6.2．若回归直线方程为y＝2－1.5x，则变量x增加一个单位，y()A．平均增加1.5个单位B．平均增加2个单位C．平均减少1.5个单位D．平均减少2个单位解析：选C因为回归直线方程为y＝2－1.5x，所以b＝－1.5，则变量x增加一个单位，y平均减少1.5个单位．3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为()A．3B．3.15C．3.5D．4.5解析：选A样本点的中心(，)，即.因为回归直线过该点，所以＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－200解析：选A由于销售量y与销售价格x负相关，因此回归方程中的系数b<0，故排除选项B，D；选项C中，当x＝0时，y＝－200，与实际问题不符合，故排除选项C.5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A．若χ2的值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．...
