第二节函数的单调性与最值【考纲下载】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.1．增函数与减函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A当x1f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的图像描述自左向右看图像是逐渐上升的自左向右看图像是逐渐下降的2.单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间，在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．(2)单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数：如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．3．函数的最值(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值．1．如果一个函数在定义域内的几个区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在定义域上是增(减)函数？提示：不能．如函数y＝在(0，＋∞)及(－∞，0)上都是减函数，但函数y＝在定义域上不是单调函数．2．当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来？提示：不能直接用“∪”将它们连接起来．如函数y＝的单调递减区间有两个：(－∞，0)和(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝3－xB．y＝C．y＝－x2＋4D．y＝|x|解析：选D函数y＝3－x，y＝，y＝－x2＋4在(0,1)上都是减函数，y＝|x|在(0,1)上是增函数．2．(教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2解析：选C函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b的对称轴为x＝，即函数f(x)的单调递减区间为.所以≥1，即a≤－2.3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C由题意知，函数f(x)为R上的减函数，且f1，即|x|<1且|x|≠0.∴x∈(－1,0)∪(0,1)．4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.答案：5．(教材习题改编)函数f(x)＝，x∈[2,6]．下列命题：①函数f(x)为减函数；②函数f(x)为增函数；③函数f(x)的最大值为2；④函数f(x)的最小值为.其中真命题的是________(写出所有真命题的编号)．解析：易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.答案：①③④考点一函数单调性的判断与证明[例1]已知函数f(x)＝－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．[自主解答](1)由2f(1)＝f(－1)，可得2－2a＝＋a，所以a＝.(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，∴f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．【方法规律】利用定义证明函数单调性的步骤―→―→―→―→试讨论函数f(x)＝，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－＝. －1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x－1＜0，x－1＜0，－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数．考点二求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|...
