第六节抛物线【考纲下载】1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋|PF|＝－x0＋|PF|＝y0＋|PF|＝－y0＋1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋；若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则|MF|＝y0＋.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析：选C由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.2．抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为()A．1B．2C．3D．4解析：选B因为抛物线y2＝4x，所以2p＝4，而焦点F到准线l的距离为p＝2.3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为()A.B．(1,0)C.D.解析：选C将抛物线y＝2x2化成标准方程为x2＝y，所以2p＝，＝，而抛物线x2＝y的焦点在y轴的非负半轴上，所以焦点坐标为.4．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c2＝9－4＝5，得F(－，0)，则抛物线方程为y2＝－4x.答案：y2＝－4x5．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．解析：F，则B，∴2p×＝1，解得p＝.∴B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝.答案：考点一抛物线的定义及应用[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.【互动探究】若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． |PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值为2.【方法规律】“”抛物线定义中的转化法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距“”离的等价转化．看到准线想到焦点，看到焦点想到准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(·吉安模拟)已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x＝－的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.答案：y2＝2px2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：因为抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．显然，当AB垂直于x轴时，|AF|≠3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线y2＝4x联立，消去y得k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系得x1＋x2＝＝2＋.又|AF|＝3＝x1＋＝x1＋1，所以x1＝2，代入k2x2－2k2x－4x＋k2＝0，得k2...
