第二节平面向量基本定理及坐标表示【考纲下载】1．了解平面向量基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)2．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.1．相等向量的坐标一定相同吗？相等向量起点和终点坐标可以不同吗？提示：相等向量的坐标一定相同，但是起点和终点的坐标可以不同．如A(3,5)，B(6,8)，则＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2，6)，则＝(3,3)，显然＝，但A，B，C，D四点坐标均不相同．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能表示成＝吗？提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝()A．4a－2bB．4a＋2bC．－2a＋4bD．2a＋4b解析：选A设c＝λa＋μb，则有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，从而μ＝－2，故c＝4a－2b.2．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，则y等于()A．5B．10C.D．15解析：选B a∥b，∴4y＝5×8，即y＝10.3．若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则－2＝________.解析： A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，∴＝(1,1)，＝(2,2)，∴－2＝(1,1)－(4,4)＝(－3，－3)．答案：(－3，－3)4．(教材习题改编)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析： a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，且(a＋b)∥c，∴1×2＝－(m－1)，即2＝－m＋1，∴m＝－1.答案：－1考点一平面向量基本定理的应用[例1]在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.[自主解答]选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，于是得即故λ＋μ＝.[答案]【互动探究】在本例条件下，若＝c，＝d，试用c，d表示，.解：设＝a，＝b，因为E，F分别为CD和BC的中点，所以＝b，＝a，于是有：解得即＝(2d－c)＝d－c，＝(2c－d)＝c－d.【方法规律】应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.解析：因为AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝BC.因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，即λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.答案：考点二平面向量的坐标运算[例2]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求：(1)3a＋b－3c；(2)满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标．[自主解答]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－...
