第五节椭圆【考纲下载】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1，F2的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝越接近1，a与c就越接近，从而b＝就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：选A根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．椭圆＋＝1的离心率为()A.B.C.D.解析：选D在椭圆＋＝1中，a2＝16，b2＝8，所以c2＝a2－b2＝8，即c＝2，因此，椭圆的离心率e＝＝＝.3．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是()A.B.C．1D.解析：选B在椭圆＋＝1中，a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝4－3＝1，因此，其右焦点为(1,0)．该点到直线y＝x的距离d＝＝.4．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为________．解析：椭圆2x2＋3y2＝m(m>0)可化为＋＝1，所以c2＝－＝，因此e2＝＝＝，即e＝.答案：5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋＝1，因为其焦点在y轴上，∴a2＝，b2＝1，依题意知＝2，解得m＝.答案：考点一椭圆的定义和标准方程[例1](1)(·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)(·安康模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[自主解答](1)由右焦点为F(1,0)，可知c＝1，因为离心率为，即＝，故a＝2，由a2＝b2＋c2，知b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程为＋＝1.(2)由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又知离心率为，即＝，c＝a＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.[答案](1)D(2)＋＝1【互动探究】在本例(2)“中若将条件焦点在x”轴上去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.综上可知C的方程为＋＝1或＋＝1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)，＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．“”注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要先定型，再定量，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．12解析：选C根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4.2．(·山东高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D 椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.∴椭圆的方程为x2＋4y2＝4b2. 双曲线x2－y2＝1的渐...
