第九节直线与圆锥曲线【考纲下载】1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·.直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交．1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A.B.C.D．4解析：选C由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝.2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0解析：选A因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．3．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12.答案：124．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m≥1，且m≠5.答案：m≥1且m≠55．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由c＝＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得解得x1＝0，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝.∴S△＝×1×|y1－y2|＝×1×＝.答案：考点一圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题[例1](·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．[自主解答](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.(2)由解得或因此|AB|＝.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝|x4－x3|＝.由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.【互动探究】若本例的条件不变，则四边形ACBD的面积有最小值吗？若有，求出其值；若没有，说明理由．解：由(2)可知3x2＋4nx＋2n2－6＝0，又 y＝x＋n与椭圆＋＝1相交，∴Δ＝(4n)2－4×3(2n2－6)＝8(9－n2)>0，即－3
