第五节指数与指数函数【考纲下载】1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．正整数指数函数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)，叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2．分数指数幂(1)分数指数幂：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝a.(2)正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n∈N＋，且n＞1)．(3)负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、n∈N＋，且n＞1)．(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．3．指数幂的运算性质当a>0，b>0时，对任意实数m，n，都有：(1)aman＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn.4．指数函数的图像与性质y＝axa＞10＜a＜1图像定义域R值域(0，＋∞)性质(1)过定点(0,1)(1)过定点(0,1)(2)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1(2)当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1(3)在R上是增函数(3)在R上是减函数1.＝a成立的条件是什么？提示：当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|，y＝x之间有何关系？提示：y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称．1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A．－9B．－10C．9D．7解析：选D[(－2)6]－(－1)0＝(26)－1＝8－1＝7.2．化简(x<0，y<0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y解析：选D＝2x2|y|＝－2x2y.3．函数f(x)＝3x＋1的值域为()A．(－1，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0,1)D．[1，＋∞)解析：选B 3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f(x)＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．解析：令x－2＝0，则x＝2，y＝1－3＝－2，故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．答案：(2，－2)5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．解析： f(x)＝(a－2)x为减函数，∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3.答案：(2,3)考点一指数幂的化简与求值[例1]化简：(1)(a＞0，b＞0)；(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.[自主解答](1)原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1.(2)原式＝－＋－－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.【方法规律】指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．计算：(1)÷；(2)(0.027)－－－2＋－(－1)0；(3)已知m＋m－＝4，求.解：(1)原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1.(2)原式＝－－72＋－1＝－49＋－1＝－45.(3) m＋m－＝4，∴m＋m－1＋2＝16，∴m＋m－1＝14，∴＝＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.考点二指数函数的图象[例2](1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()ABCD(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[自主解答](1)由已知并结合图象可知0
