一道几何概型试题的探究兰州西北中学730050问题:在等腰直角△ABC中,∠C=90°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率.解法一:设事件D“作射线CM,使|AM|<|AC|”.在AB上取点M使|AM|=|AC|,因为△ACM是等腰三角形,所以∠ACM=67.5°,A=90-67.5=22.5,Ω=90,所以,P(D)==.解法二:设事件D“作射线CM,使|AM|>|AC|”.在AB上取点M使|AM|=|AC|,因为△ACM是等腰三角形,所以|AM|=,A=|AM|=,Ω=|AB|,所以,P(D)==.两种解法哪种正确?为什么?如果我们把问题中的等腰直角三角形改为∠C=90°的扇形,过顶点C作射线CM交AB于M,求使|AM|>|AC|的概率.BCAM如果我们把问题中的等腰直角三角形改为∠C=90°的扇形,过顶点C作射线CM交AB于M,求使AB的长大于|AC|的概率.用以上两种解法去解,不难得出答案是一样的!这是为什么呢?如果射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,M在AB上的运动也是匀速的,如果把射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件,这些基本事件,是等可能事件,如果把点M在线段AB上的每一个位置作为一个基本事件,这些基本事件也是等可能事件,所以,两种解法答案是一样的。如果我们把问题中的“等腰直角三角形”改为“∠A=60°,∠C=90°的直角三角形”,MBCA1我们把AB的中点记作M0,,∠ACM0=600,∠M0CB=300,如果射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,M在AB上的运动就不是匀速的,可以理解为线段AM0上的点比线段M0B上的点稠密,此时,用长度比来刻画|AM|>|AC|的概率,显然就错了,因为把M在AB上的每一个位置作为一个基本事件,这些基本事件不是等可能基本事件。应该把射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件,这些基本事件就是等可能事件了,显然,P=。如果M是从A点起匀速运动到达B点,射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件,这些基本事件,就不是等可能事件了,这个问题也就不能看作几何概型了,自然就不能用几何概型的方法去解决。应该把点M在线段AB上的每一个位置作为一个基本事件,这些基本事件就是等可能事件了,这个问题也就是几何概型了。。所以,前面提出的问题,理解表述是很关键的,“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”,应理解为射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,|AM|>|AC|的概率应该以角作为测度。同理如果把“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”改为“M在线段AB上”,就应该理解为M从A点起匀速运动到达B点,|AM|>|AC|的概率应该以长度作为测度。又例如:O是正方形ABCD的中心,Q是CB的中点。(1)以O为端点作射线OP,交正方形的边于P.求使得∠AOP和∠QOP都不小于的300概率.(2)在折线ABQ上任取一点P,求使得∠AOP和∠QOP都不小于的300概率.PDACBQEF分析:(1)只能以角度作为测度。(2)可以用长度和面积为测度,但不能以角度作为测度。如果把问题改为:在圆心角为1350的扇形中,以圆心O为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于的300概率.此题弧长,角度,面积都可以作为测度.由此看来,解决几何概型的问题时,关键是认真理解题目的表述,提炼出基本事件,看把什么事件作为基本事件,基本事件才是等可能的,问题才是几何概型。MBCA2