一道几何概型试题的探究兰州西北中学730050问题：在等腰直角△ABC中，∠C=90°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.解法一：设事件D“作射线CM，使|AM|<|AC|”.在AB上取点M使|AM|=|AC|，因为△ACM是等腰三角形，所以∠ACM=67.5°,A=90-67.5=22.5，Ω=90，所以，P（D）==.解法二：设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.在AB上取点M使|AM|=|AC|，因为△ACM是等腰三角形，所以|AM|=,A=|AM|=，Ω=|AB|，所以，P（D）==.两种解法哪种正确？为什么？如果我们把问题中的等腰直角三角形改为∠C=90°的扇形，过顶点C作射线CM交AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率.BCAM如果我们把问题中的等腰直角三角形改为∠C=90°的扇形，过顶点C作射线CM交AB于M，求使AB的长大于|AC|的概率.用以上两种解法去解，不难得出答案是一样的！这是为什么呢？如果射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,M在AB上的运动也是匀速的，如果把射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件，是等可能事件，如果把点M在线段AB上的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件也是等可能事件，所以，两种解法答案是一样的。如果我们把问题中的“等腰直角三角形”改为“∠A=60°，∠C=90°的直角三角形”，MBCA1我们把AB的中点记作M0，，∠ACM0=600,∠M0CB=300,如果射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,M在AB上的运动就不是匀速的，可以理解为线段AM0上的点比线段M0B上的点稠密，此时，用长度比来刻画|AM|＞|AC|的概率，显然就错了，因为把M在AB上的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件不是等可能基本事件。应该把射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件就是等可能事件了，显然，P=。如果M是从A点起匀速运动到达B点，射线CM在∠ACB中的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件，就不是等可能事件了，这个问题也就不能看作几何概型了，自然就不能用几何概型的方法去解决。应该把点M在线段AB上的每一个位置作为一个基本事件，这些基本事件就是等可能事件了，这个问题也就是几何概型了。。所以，前面提出的问题，理解表述是很关键的，“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”，应理解为射线CM从CA起匀速绕C旋转到达CB,|AM|＞|AC|的概率应该以角作为测度。同理如果把“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”改为“M在线段AB上”，就应该理解为M从A点起匀速运动到达B点，|AM|＞|AC|的概率应该以长度作为测度。又例如：O是正方形ABCD的中心，Q是CB的中点。（1）以O为端点作射线OP，交正方形的边于P.求使得∠AOP和∠QOP都不小于的300概率.(2)在折线ABQ上任取一点P，求使得∠AOP和∠QOP都不小于的300概率.PDACBQEF分析：（1）只能以角度作为测度。（2）可以用长度和面积为测度，但不能以角度作为测度。如果把问题改为：在圆心角为1350的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于的300概率.此题弧长，角度，面积都可以作为测度.由此看来，解决几何概型的问题时，关键是认真理解题目的表述，提炼出基本事件，看把什么事件作为基本事件，基本事件才是等可能的，问题才是几何概型。MBCA2
