人教版高中数列知识点总结知识点例题3VIP专享VIP免费

数学必修5数列知识点1：等差数列及其前n项1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a及b的等差中项．4．等差数列的常用性质*(1)通项公式的推广：an＝am＋（n-m）d，(n，m∈N)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N)，则ak＋al＝am＋an.*(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列．*5．等差数列的前n项及公式设等差数列{an}的公差d，其前n项及Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项及公式及函数的关系227．等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．[难点正本疑点清源]1．等差数列的判定(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2.2．等差数列及等差数列各项及的有关性质(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(3)S2n－1＝(2n－1)an.(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.2若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．311例1（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝5an－1an－1*(n∈N)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项及最小项，并说明理由．11*(1)证明 an＝2－(n≥2，n∈N)，bn＝.an－1an－111∴n≥2时，bn－bn－1＝－an－1an－1－111＝－2－1－1an－1－1ddSn＝n2＋a1－n.数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn，(A、B为常数)．nan－1－＝1＝1.an－1－1an－1－1an－15∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．2712(2)解由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，2bn2n－7第1页人教版高中数列知识点总结知识点例题3--第1页人教版高中数列知识点总结知识点例题3--第1页2设函数f(x)＝1＋，2x－777易知f(x)在区间－∞，及，＋∞内为减函数．22∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.例2（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项及为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1(2)求d的取值范围．－15解(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8.S55a1＋10d＝5，所以a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)方法一 S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，22即2a1＋9da1＋10d＋1＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－22或d≥22.方法二 S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，9da1＋10d＋1＝0.222故(4a1＋9d)＝d－8.所以d≥8.故d的取值范围为d≤－22或d≥22.例3（前n项及及综合应用）(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项及为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项及．解方法一 a1＝20，S10＝S15，10×915×145∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.2235565∴an＝20＋(n－1)×－＝－n＋.333∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，212×115∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋×－＝130.235方法二同方法一求得d＝－.352523125nn－1521255∴Sn＝20n＋·－＝－n＋n＝－n－＋.22666243* n∈N，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.(2) an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．an＝4n－25<0，①令an＋1＝4n＋1－25≥0，②11由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，44从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－24＝3.设{|an|}的前n项及为Tn，则第2页人教版高中数列知...