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章末复习课第三章三角恒等变形学习目标1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式.对三角函数式进行化简、求值和证明.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝.cos(α＋β)＝.sin(α＋β)＝.sin(α－β)＝.tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβcosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ2.二倍角公式sin2α＝.cos2α＝＝＝.tan2α＝.3.升幂公式1＋cos2α＝.1－cos2α＝.2tanα1－tan2α2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2cos2α2sin2α4.降幂公式sinxcosx＝，cos2x＝，sin2x＝.5.和差角正切公式变形tanα＋tanβ＝，tanα－tanβ＝.6.辅助角公式y＝asinωx＋bcosωx＝.sin2x21＋cos2x21－cos2x2a2＋b2sin(ωx＋θ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α＋β)(1－tanαtanβ)题型探究例1已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.解 α是锐角，cosα＝45，解答∴sinα＝35，tanα＝34.45类型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用13∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝139. β是锐角，∴cosβ＝91050.反思与感悟给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等.α21212跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.解答(1)求tan(α－β)的值；31010255(2)求α＋β的值.解答即0<α＋β<π2，故α＋β＝π4.sinα＝1010<22，sinβ＝55<22，解因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，类型二整体换元思想在三角恒等变换中的应用解答例2求函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值.反思与感悟在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2求函数y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域.则由t＝2sinx－π4知，t∈[－2，2].解令sinx－cosx＝t，又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2，∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝－t－122＋54.当t＝12时，ymax＝54；当t＝－2时，ymin＝－2－1.∴函数的值域为－2－1，54.解答类型三转化与化归思想在三角恒等变换中的应用解答例3已知函数f(x)＝2sin(x－3π)sin＋2sin2－1，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；x－π23x＋5π20，π2解因为f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，又因为x∈[0，π2]，所以2x＋π6∈[π6，7π6]，所以f(x)的最小正周期为π.所以f(x)的最大值为2，最小值为－1.解由(1)可知，f(x0)＝2sin2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.(2)若f(x0)＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6，所以cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45，cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.解答反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质.例4已知sinx＋2cosy＝2，求2sinx＋cosy的取值范围.由sinx＋2cosy＝2，...