1点到直线的距离教学设计教学目标：1．让学生理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离．2．培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、化归（或转化）、特殊到一般的数学思想方法以及数学应用意识．3．让学生了解和感受探索问题的方法，以及用联系的观点看问题．在探索问题的过程中体验成功的喜悦．教学重点：点到直线距离公式及其应用．教学难点：点到直线距离公式的推导．教学方法：启发式讲解法、讨论法．教学工具：多媒体教学设备．教学过程：一、提出问题多媒体显示实际的例子：某电信局计划年底解决本地区最后一个小区的电话通信问题．经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（-1,5）,离它最近的只有一条线路通过，其方程为2x+y+10=0.要完成这项任务，至少需要多长的电缆线？这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．二、解决问题多媒体显示：已知点P（x0，y0），直线l:Ax+By+C=O，求点P到直线l的距离．怎样求点到直线距离呢？学生应该很快能回答出，做垂线找垂足Q，求线段2板书：当A=0时，l:By+C=0,PQ=|y-y^当B=0时，l:Ax+C=0,|PQ|=|x-XQ当AB丰0时,如何求|学生思考回答下列想法：思路一：过P作PQ丄l于Q点，根据点斜写出直线PQ方程，由PQ与l联立方程组解得点坐标,然后利用两点距离公式求得．教师评价：此方法思路自然，但是运算繁琐．并多媒体展示求解过程解：直线PQ:y-y=—(x-x)(x丰x)，即Bx-Ay=Bx-Ay00,IBx-Ay=Bx-Ay叫Ax+By+C=0'0，B2x一ABy一ACx=00—B2x一AByx-x二0—PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.显示图形:—AC—A2x—B2x—A(Ax+By+C)■00二00A2+B2A2+B2BAx+By+Cy-y二x-x)=-B——00Q0A0A2+B2Bx+0\Ax+By+CA2+B2说明：本过程只展示，不在课堂推导．教师提问：能否用其它方法，不求点Q的坐标，求线段PQ的长度?学生思考：放在三角形---特殊三角形---直角三角形中．教师提问：如何构造三角形？第三个顶点选在什么位置？学生思考：可能在直线l与x轴的交点M或与y轴交点N,或过P点做x,y轴的平行线与直线l的交点R、S.教师根据学生提出的点的位置作分析，求解过程的繁与简，最后决定方法．下列是学生可能提到的情况：思路二：在直角厶PQM，或直角APON中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余值．思路三：在直角△PQR，或直角厶PQS中，求边长与角（角与直线倾斜角有关,但分情况）,用余弦值．思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS,利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．学生练习求解思路四．教师巡视，根据学生情况演示过程解：设P（x,y）,Q（x,y）,R（x,y）,S（x,y）Ax+By+CR0By+C；Ax+By+C—0,0SAx+ClRP-Ax+By+C003Ax+By+C001+B0A2+B2+By0+C|=PR”|PSRS而IRS|=』RP|2+两=lAx0+By+q”罟|Ax+By+C=00J■V.-'A2+B24由\PQ-|RS|=|PR|.|PS|,\PQ=lABAx+By+Cl・•・|PQ|=ooA2+B2说明：如果学生没有想到思路二、三,教师提示做课后思考作业题目．教师提问：①上式是由条件下当AB丰0时得出，对当A=0,或B=0时成立吗?②点P在直线l上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点P(x°,y°)到直线l:Ax+By+C=0距离公式：Ax+By+Cl•・・d=oLA2+B2教师继续引导学生思考,不构造三角形可以求吗？(在前面学习的向量知识中,有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识,且也提出过直线的法向量的概念．)能否用向量知识求解呢？—XcAx+By+C5-x,y-y\,九n=（XA,入B）0Q0=XA—sx=x+XA~—Q0=^ByQ=y0+九B,由于点Q在直线上，所以满足直线方程A（x+XA）+B（y+九B）+C=0,解得,\X=00-•-|Ax+By+C|IAx+By+Cl・・・PQ=九n=一0——么——'寸A2+B2=—05I1111A2+B2JA2+B2教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何...
