知识概述1.整除的概念：两个整数相除，余数为零（没有余数）我们就说被除数能被除数整除，即整数a除以整数b（0b），除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a），记为|ba，如15能被3整除，即为3|15。2.整除的性质：（1）如果数a数b都能被数c整除，那么他们的和或差也能被c整除，即如果|ca，|cb，那么|()cab；（2）如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或者c整除，即如果|bca，那么|ba，|ca；（3）如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除，即如果|ba，|ca，且(,)1bc，那么|bca。（4）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果|cb，|ba，那么|ca。3.整除的特征：特征1：能被2整除的数为个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除，另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）。（下同）特征2：能被5整除的数的个位是0或5。特征3：能被3（或9）整除的数，各个数位数字之和能被3（或9）整除。特征4：能被4（或25）整除的数其末两位数能被4（或25）整除。特征5：能被8（或125）整除的数其末三位数能被8（或125）整除。特征6：一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数也能被11整除。整除性请用数字9、7、2、5、1写出一个能被2整除的最大三位数。【解析】这些数字组成的最大三位数是975，但是它不能被2整除，能被2整除的数末位数一定是“0、2、4、6、8”。所以能被2整除的最大三位数为972。在下面的数中，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？234、79、775、885、378、864、63、75、26、40【解析】能被2整除的数有234、378、864、26、40；能被3整除的数有234、885、378、864、63、75；能被5整除的数有775、885、40。小华让小明猜一个四位数，小李用手挡住了其中的十位数字，小明看到这个四位数为56□2，但是小李告诉小明这个四位数字能被9整除，那么被盖住的十位数字等于几？【解析】如果56□2能被9整除，那么56213□□应能被9整除，所以十位数是5。在四位数56□2中，被盖住的十位数等于几时，这个四位数能被8整除？【解析】如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以十位数是3或7。【巩固拓展】1.四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.例3例4例2例1数的整除是数论的基础，而数论又是数学竞赛必考知识点，所以掌握好数的整除有关的性质和结论对竞赛很有帮助。名师点题【解析】已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数，可能是9的1倍或2倍，可用试验法试之.设3+A+A+1=9，则A=2.5，不合题意。再设3+A+A+1=18，则A=7，符合题意。事实上，37719=419。2.用1-9这九个数码各一次，组成3个分别能被2、3、5整除的三位数，并要求这三个三位数的和要尽量的小。那么这个和是多少？【解析】百位数选1、2、3，根据能被5整除的性质，个位必须有5，所以个位可以选9、8、5，十位为4、6、7，这三个数可以为168、249、375。3.求各位数字都是7，并能被63整除的最小自然数。【解析】我们不妨设这个数由n个7组成，那么这个数177777111nn12314243个个，而17777631119nn12314243个个，要使这个数能被9整除，只要n能被7整除，为了让其最小，那么n可以取9。六位数2009□□能被25整除，那么它的最后两位数有几种可能？【解析】我们可以把这个数写为2009200900□□□□，可以看出200900一定能够被25整除，所以只需要□□能被25整除，那么原数也可以被25整除。共有4种可能00、25、50、75。【巩固拓展】六位数2010□□能被4整除，那么它的最后两位数有几种可能？【解析】201000能被4整除，所以只要最后两位数□□能被4整除，那么原数就可以被4整除。共有25种可能00、04、08、⋯、92、96。个位数是6，且能被3整除的3位数有多少个？【解析】6是3的倍数，如果百位和十位数字的和能被3整除，那么这个数就能被3整除，而百位和十位数字所组成的两位数是从10-99，这90个数中共有90÷3=30（个）数，所以个位数是6，且能被3整除的3位数有30个。【巩固拓展】例2例1在□里填上适当的数字，...
