第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞F1F2时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜F1F2时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[小题体验]1．已知椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．答案：122．已知直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1，所以a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为＋y2＝1.答案：＋y2＝13．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝11．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a＞b＞0)．2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]1．(2019·无锡一中月考)已知椭圆＋＝1的焦距为6，则m＝________.解析： 椭圆＋＝1的焦距为6，∴当焦点在x轴时，(13－m)－(m－2)＝9，解得m＝3；当焦点在y轴时，(m－2)－(13－m)＝9，解得m＝12.答案：3或122．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得解得3＜k＜5且k≠4.答案：(3,4)∪(4,5)[题组练透]1．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆＋＝1，得a2＝9，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝5，∴该椭圆的焦点坐标为(±，0)．设所求椭圆方程为＋＝1，a′＞b′＞0，则c′＝，又＝，解得a′＝5.∴b′2＝25－5＝20，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝12．(2018·海门中学测试)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程．解：设点F关于y＝x的对称点为P(x0，y0)，又F(1,0)，所以解得又点P在椭圆上，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，所以解得则椭圆C的方程为＋＝1.3．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(－2，0)，Q(0,2)两点；(2)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点(2，－)．解：(1)由题意，P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝2，b＝2，所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，所以所求椭圆焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得a2＝4＋2，b2＝3＋2或a2＝4－2，b2＝3－2(舍去)，所以椭圆的标准方程为＋＝1.[谨记通法]求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[典例引领]已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且点M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．解：(1)设椭圆的左焦点为F1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，半焦距c＝1，因为H在椭圆上，所以2a＝HF1＋HF2＝＋＝6.所以a＝3，b＝2，故椭圆的方程是＋＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝1，所以PF2＝＝＝.因为0＜x1＜3，所以PF2＝3－x1.在...
