第2讲数列求和及简单应用1.(2018·全国Ⅲ卷,文17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.2.(2016·全国Ⅰ卷,文17)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.解:(1)由已知a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=,因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.3.(2016·全国Ⅱ卷,文17)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知,bn=.当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;当n=4,5时,2≤<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4≤<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.4.(2017·全国Ⅲ卷,文17)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2,所以an=(n≥2).又由题设可得a1=2,满足上式,从而{an}的通项公式为an=.(2)记的前n项和为Sn,由(1)知==-,则Sn=-+-+…+-=.1.考查角度考查数列求通项公式(利用通项与前n项和的关系、数列递推式等),考查数列求和(公式法、分组法、裂项法、错位相减法等).2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.(对应学生用书第27~29页)数列的通项公式【例1】(1)(2018·安徽黄山一模)数列{an}中,已知对任意正整数n,有a1+a2+…+an=2n-1,则++…+等于()(A)(2n-1)2(B)(2n-1)2(C)4n-1(D)(4n-1)(2)(2018·安徽合肥一检)已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018等于()(A)22018-1(B)32018-6(C)2018-(D)2018-(3)(2018·河北石家庄一模)若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2018的值为()(A)2(B)-3(C)-(D)解析:(1)由递推关系可得a1=1,a1+a2+…+an-1+an=2n-1,a1+a2+…+an-1=2n-1-1,两式作差可得an=2n-2n-1=2n-1,则==22n-2=4n-1,故数列{}是首项为1,公比为4的等比数列,结合等比数列前n项和公式有++…+==(4n-1).故选D.(2)由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,即an+1=-2an-3,an+1+1=-2(an+1),结合3S1=2a1-3可得a1=-3,a1+1=-2,则数列{an+1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a2018+1=(-2)×(-2)2017=22018,所以a2018=22018-1.故选A.(3)由题a1=2,an+1=,所以a2==-3,a3==-,a4==,a5==2.故数列{an}是以4为周期的周期数列,故a2018=a504×4+2=a2=-3.故选B.求数列的通项公式的基本类型:(1)利用an=直接求解,或者据此得出数列的递推式求解,特别是已知Sn=kan+b(k≠0,1,b≠0)时可得数列{an}一定是等比数列;(2)三种简单的递推数列:an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0),第一个使用累差的方法、第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an+1+λ=p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的周期性后得出其通项公式.热点训练1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}中,a1=2,=+ln1+,则an等于()(A)2+nlnn(B)2n+(n-1)lnn(C)2n+nlnn(D)1+n+nlnn(2)(2018·福建三明5月质检)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-2,则S8等于()(A)255(B)256(C)510(D)511(3)(2018·山东济宁一模)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18等于()(A)(B)(C)3(D)解析:(1)由题意得-=ln(n+1)-lnn,n分别用1,2,3,…,(n-1)取代,累加得-=lnn-ln1=lnn,=2+lnn,所以an=(lnn+2)n.故选C.(2)当n=1时,a1=2a1-2,据此可得a1=2,当n≥2时Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,两式作差可得an=2an-2a...
