第二节平面向量基本定理及坐标表示突破点一平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE等于________．答案：b－a2．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案：03．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则2a－b＝________.答案：3e1＋3e21.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝()A.AB－ADB.AB－ADC．－AB＋ADD．－AB＋AD解析：选C如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC＝GD＝AD－AG＝AD－AB，∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋＝AB＋AD，于是BF＝AF－AB＝AE－AB＝－AB＝－AB＋AD，故选C.2．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM＝tCP，则实数t的值为________．解析：因为CP＝CA＋CB，所以3CP＝2CA＋CB，即2CP－2CA＝CB－CP，所以2AP＝PB.1即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设AM＝λAQ.所以CM＝AM－AC＝λAQ－AC＝λ－AC＝AB＋AC，又CM＝tCP＝t(AP－AC)＝t＝AB－tAC.故解得故t的值是.答案：平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ等于()A.B.C.D.解析：选D因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，所以AB＝AN－AM，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且AK＝e1，AL＝e2，试用e1，e2表示BC，CD.解：设BC＝x，CD＝y，则BK＝x，DL＝－y.由AB＋BK＝AK，AD＋DL＝AL，得①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以BC＝－e1＋e2.同理可得y＝－e1＋e2，即CD＝－e1＋e2.突破点二平面向量的坐标表示1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．2．平面向量共线的坐标表示2设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析： a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－62．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________.解析：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．答案：(－7，－4)3．已知A(1,4)，B(－3,2)，向量BC＝(2,4)，D为AC的中点，则BD＝________.解析：设C(x，y)，则BC＝(x＋3，y－2)＝(2,4)，所以解得即C(－1,6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5)，所以BD＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．答案：(3,3)考法一平面向量的坐标运算[例1](1)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)(2)(2019·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四...
