第2课时一元二次不等式的应用课标解读课标要求核心素养1.能够准确求解分式不等式.2.借助一元二次不等式解决恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式恒成立问题的学习,提升数学运算素养.2.借助一元二次不等式的实际应用问题培养数学建模素养.某小型服装厂生产一种风衣,已知日产量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件风衣所需的成本为C=500+30x元,按照以往的经验,平均每天支出的费用为1300元,服装厂举步维艰,企业负责人要求员工提高产量,力求以量取胜.问题:该厂日产量为多少时,才可以保证不亏本?答案由题意得(160-2x)x-(500+30x)≥1300,化简得x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.∴该厂日产量在20件至45件之间时,才可以保证不亏本.1.分式不等式的解法主导思想:化分式不等式为整式不等式.ax+bcx+d>0(<0)(其中a,b,c,d为常数)法一:{ax+b>0(<0),cx+d>0或{ax+b<0(>0)cx+d<0法二:①(ax+b)(cx+d)>0(<0)ax+bcx+d≥0(≤0)法一:{ax+b≥0(≤0),cx+d>0或{ax+b≤0(≥0)cx+d<0法二:②{(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)cx+d≠0ax+bcx+d>k(¿k≥k≤k)(其中k为非零实数)先移项,再通分转化为上述两种形式思考1:x-3x+2>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?若等价,则将x-3x+2>0变形为(x-3)(x+2)>0有什么好处?提示等价.好处是将不熟悉的分式不等式转化为熟悉的一元二次不等式.2.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0a=0b=0,c>0b=0,c<0a≠0{a>0Δ<0③{a<0Δ<0(2)不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数y=ax2+bx+cax2+bx+c≤k恒成立⇔ymax≤kax2+bx+c≥k恒成立⇔④ymin≥k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).(3)解不等式(或求函数的最值).(4)回扣实际问题.思考2:解一元二次不等式应用题的关键是什么?提示解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等式再求解.探究一分式不等式的解法例1解下列不等式:(1)x+23-x≥0;(2)2x-13-4x>1.解析(1)原不等式等价于{(x+2)(3-x)≥0,3-x≠0,即{(x+2)(x-3)≤0,x≠3⇒-2≤x<3.∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.(2)原不等式可化为2x-13-4x-1>0,即3x-24x-3<0,等价于(3x-2)(4x-3)<0,∴230,此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.(2)不等式移项得x+1x-2-2≤0,化简得-x+5x-2≤0,即x-5x-2≥0,∴{(x-2)(x-5)≥0,x-2≠0,∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.探究二一元二次不等式的实际应用例2北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件的售价为25元,年销售量为8万件.(1)据市场调查,价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件的售价最高为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高售价到x元.公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x5万元作为活动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件的售价为多少元?解析(1)设每件的售价为t元,依题意得(8-t-251×0.2)t≥25×8,整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件的售价最高为40元.(2)依题意得,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+16(x2-600)+x5有解,等价于当x...
