第四节几何概型1．几何概型的定义设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P(A)＝.[提醒]求解几何概型问题注意数形结合思想的应用．[小题体验]1．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝.答案：2．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________．解析：设AC＝x(0＜x＜12)，则CB＝12－x，所以x(12－x)＜32，解得x＜4或x＞8，所以所求概率P＝＝.答案：3．在500mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．解析：由于取水样的随机性，所求事件A“在取出2mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即＝0.004.答案：0.004易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[小题纠偏]1．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]，则f(x)为增函数的概率为________．解析：因为f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]．所以f(x)在[1,4]上是增函数．所以f(x)为增函数的概率为P＝＝.答案：2．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．解析：设阴影部分面积为S，由几何概型可知＝，所以S＝0.18.答案：0.18[题组练透]1．(2018·扬州考前调研)在区间(0,5)内任取一个实数m,则满足3＜m＜4的概率为_________．解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3＜m＜4的概率为.答案：2．(2018·苏州调研)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．解析：如图，过点C在∠ACB内任作射线CM，则射线CM在∠ACB内是等可能分布的，故基本事件的区域测度是∠ACB的大小，即90°.在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝＝67.5°.记“AM＜AC”为事件A，则事件A的概率P(A)＝＝，故AM＜AC的概率为.答案：3．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.答案：4．在水平放置的长为5m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2m的概率是________．解析：这是一个几何概型，其概率就是如图所示的相应的线段CD，AB的长度的比值，故所求概率P＝.答案：[谨记通法]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．[锁定考向]与面积、体积有关的几何概型在高考中经常出现．常见的命题角度有：(1)与平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划交汇命题的问题；(3)与几何体体积交汇命题的问题．[题点全练]角度一：与平面图形面积有关的问题1．平面区域A1＝，A2＝{(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}．在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为________．解析：分别画出区域A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为＝1－.答案：1－角度二：与线性规划交汇命题的问题2．在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为________．解析：依题意作出图象...
