第四节直接证明与间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：从已知的条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．(2)分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．(3)综合法与分析法的推证过程如下：综合法——⇒…⇒…⇒；分析法——⇐…⇐…⇐.2．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[小题体验]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系为________．答案：a＞b3．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．解析：要使＋≥2成立，则＞0，即a与b同号，故①③④均能使＋≥2成立．答案：31．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．[小题纠偏]1.－2与－的大小关系是________．解析：假设－2＞－，由分析法可得，要证－2＞－，只需证＋＞＋2，即证13＋2＞13＋4，即＞2.因为42＞40，所以－2＞－成立．答案：－2＞－2．(2019·南通调研)用反证法证明命题：“若(a－1)(b－1)·(c－1)＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，要做的假设是“假设a，b，c________”．答案：都不大于1[题组练透]1．(2019·南通模拟)已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.证明： m＞0，∴1＋m＞0，∴要证2≤，即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故2≤.2．(易错题)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.证明：要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[谨记通法]1．利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．2．分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．[典例引领](2019·徐州检测)设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．证明：因为a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2·(－)＝(－)[()5－()5]，当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a＜b时，＜，从而()5＜()5，得(－)[()5－()5]＞0.所以a3＋b3≥(a2＋b2)．[由题悟法]综合法证明问题的思路(1)分析条件选择方向分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系，选择相关的定理、公式等，确定恰当的解题方法(2)转化条件组织过程把已知条件转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化(3)适当调整回顾反思回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取[即时应用]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列．(2)若C＝，求证5a＝3b.证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差...
