第2课时利用导数探究函数零点问题判断、证明或讨论函数零点个数(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．【证明】设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx
当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在(0，π)存在唯一零点．利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．已知f(x)＝＋－3，F(x)＝lnx＋－3x＋2
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．解：(1)f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)
