第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.[小题体验]1．已知sin＝，－＜α＜0，则cos＝______.答案：－2．化简cos18°cos42°－cos72°sin42°的值为________．答案：3．已知sin(α－π)＝，则cos2α＝________.答案：4．化简：＝________.解析：＝＝＝4sinα.答案：4sinα1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．[小题纠偏]1．已知sin2α＝，则cos2＝________.答案：2．若锐角α，β满足tanα＋tanβ＝－tanαtanβ，则α＋β＝________.解析：由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.答案：对应学生用书P48[题组练透]1．(2018·苏州期末)若tan＝－，则sinαcosα＝________.解析： tan＝－，∴tanα＝tan＝＝＝，∴sinαcosα＝＝＝＝.答案：2．(2018·海安高三学业质量测试)已知cosα＝，α∈，则sin＝________.解析：因为cosα＝，α∈，所以sinα＝，则sin＝sinα＋cosα＝.答案：3．设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．解析： sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，α∈，∴cosα＝－，∴sinα＝，tanα＝－，∴tan2α＝＝＝.答案：[谨记通法]三角公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．对应学生用书P49[典例引领]1．(2019·汇龙中学检测)计算：＝________.解析：＝＝＝＝＝－4.答案：－42．已知θ∈，且sinθ－cosθ＝－，则＝________.解析：由sinθ－cosθ＝－得sin＝，因为θ∈，所以0＜－θ＜，所以cos＝.＝＝＝＝2cos＝.答案：[由题悟法]1．三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[即时应用]1．(2018·启东中学测试)＝________.解析：＝＝＝＝.答案：2．(2019·南京四校联考)已知cos＋sinα＝，则sin＝________.解析：由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，所以sin＝，sin＝，所以sin＝－sin＝－.答案：－对应学生用书P49[典例引领](2019·镇江模拟)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α－β)＝.(1)求tan2α；(2)求β.解：(1) α为锐角，cosα＝，∴sinα＝＝，则tanα＝＝4.∴tan2α＝＝－.(2) α，β为锐角，∴－＜α－β＜，又sin(α－β)＝，∴cos(α－β)＝＝.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.[由题悟法]1．利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．角变换的几个注意点明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．[即时应用]1．已知tan(α＋β)＝1，tan＝，则tan＝________.解析：tan＝tan＝＝＝.答案：2．(2018·扬州高三期末)已知cos＝，则sin(π＋α)＝________.解析：因为cos＝，所以＜＋α＜，故sin＝＝，所以sin(π＋α)＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.答...
