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首页文档中学教育（浙江专用）高考数学新增分大一轮复习 第四章 导数及其应用 4.2 导数的应用（第2课时）导数与函数的极值、最值讲义（含解析）-人教版高三全册数学教案

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第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y＝xf′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()A．f(－2)与f(2)B．f(－1)与f(1)C．f(2)与f(－2)D．f(1)与f(－1)答案A解析由图象知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.所以f(x)在区间(－∞，－2)上为增函数，在区间(－2,2)上为减函数，在区间(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)的极大值与极小值分别是f(－2)与f(2)．命题点2求函数的极值例2设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由．解f′(x)＝＋a(2x－1)＝(x>－1)．令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点．②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)．a．当0时，Δ>0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1－.由g(－1)＝1>0，可得－10，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．因此函数有两个极值点．③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－10，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点；当0≤a≤时，函数f(x)无极值点；当a>时，函数f(x)有两个极值点．命题点3根据极值求参数例3(1)函数f(x)＝ex－mx2＋1在x＝0处的切线方程为____________，若函数f(x)有两个极值点，则实数m的取值范围为____________．答案x－y＋2＝0解析f′(x)＝ex－2mx，f′(0)＝1，f(0)＝2，所以函数f(x)在x＝0处的切线方程为x－y＋2＝0.由题意可知，f′(x)＝ex－2mx＝0有两个根，即2m＝有两个根．记g(x)＝，则g′(x)＝，在(－∞，0)，(0,1)上，g′(x)<0，在(1，＋∞)上，g′(x)>0.所以当x<0时，g(x)<0且单调递减；当x>0时，g(x)>0且在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以只需2m>g(1)＝e，故m>.(2)(2018·金华十校期末考试)已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是________．答案[－1,7)解析由题意可知f′(x)＝3x2＋4x－a＝0有两个不等根，其中一个在(－1,1)上，另一个不在该区间上．因为导函数f′(x)的对称轴是x＝－，所以只能是一根在上，另一根在(－∞，－1]上，所以解得－1≤a<7.思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值答案C解析当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)则f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.(2)若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2lnx(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是()A.B．(1，＋∞)C．(1,2)D．(2，＋∞)答案C解析f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝(a>0，x>0)，若f(x)在区间内有极大值，即f′(x)＝0在内有解，且f′(x)在区间内先大于0，再小于0，则即解得1
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