第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、知识梳理1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．常用结论1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点的坐标为.3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．二、习题改编1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P1P＝P1P2或P1P＝P1P2，P1P2＝(3，－3)．设P(x，y)，则P1P＝(x－1，y－3)，当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当P1P＝P1P2时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.2．(必修4P119A组T8改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A．－B.C．－2D．2解析：选A.由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－.故选A.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB，BC的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、易错纠偏(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于①，AD与AB不共线，可作为基底；对于②，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于③，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；对于④，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而BC＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.平面向量基本定理及其应用(师生共研)(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝a，AC＝b，则DE＝()A.a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋b(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝．【解析】(1)DE＝DC＋CE＝BC＋CA＝(AC－AB)－AC＝－AB－AC＝－a－b.(2)由题图可设CG＝xCE(x＞0)，则CG＝x(CB＋BE)＝x＝CD＋xCB.因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.【答案】(1)C(2)运算遵法则基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角...
