第2讲数学归纳法、数列的通项公式与数列求和数学归纳法[核心提炼]用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题，证明步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)，可知命题对于从n0开始的所有正整数都成立．[典型例题](2019·宁波市九校联考)已知n∈N*，Sn＝(n＋1)·(n＋2)…(n＋n)，Tn＝2n×1×3×…×(2n－1)．(1)求S1，S2，S3，T1，T2，T3；(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．【解】(1)S1＝T1＝2，S2＝T2＝12，S3＝T3＝120.(2)猜想：Sn＝Tn(n∈N*)．证明：①当n＝1时，S1＝T1；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝Tk，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)，则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)＝×(2k＋1)(2k＋2)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝Tk＋1.即n＝k＋1时也成立，由①②可知，n∈N*，Sn＝Tn成立．利用数学归纳法时应注意以下两点(1)这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．(2)用数学归纳法证明与不等式有关的命题，在由n＝k证明n＝k＋1时，要准确利用证明不等式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．[对点训练](2019·高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．1解得bn＝(S－SnSn＋2)．所以bn＝n2＋n，n∈N*.(2)证明：cn＝＝＝，n∈N*.我们用数学归纳法证明．①当n＝1时，c1＝0<2，不等式成立；②假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即c1＋c2＋…＋ck<2，那么，当n＝k＋1时，c1＋c2＋…＋ck＋ck＋1<2＋<2＋<2＋＝2＋2(－)＝2，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据①和②知，不等式c1＋c2＋…＋cn<2对任意n∈N*成立．由递推式求数列通项公式[核心提炼]利用递推法解题的一般步骤(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项．[典型例题](1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________．(2)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项公式an＝________．(3)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1，2，3，…)，则Sn＝________．【解析】(1)由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，a1＝1，则an－2＝(－1)·，所以an＝2－.(2)法一：(递推法)an＝2an－1＋3＝2(2an－2＋3)＋3＝22·an－2＋2×3＋3＝23an－3＋22×3＋2×3＋3＝…＝2n－1·a1＋2n－2·3＋2n－3·3＋…＋3＝2n－1＋3(2n－2＋2n－3＋…＋1)＝2n＋1－3.法二：(构造法)设an＋a＝2(an－1＋a)，即an＝2an－1＋a，所以a＝3.所以an＋3＝2(an－1＋3)，所以{an＋3}是公比为2的等比数列．所以an＋3＝(a1＋3)·2n－1.又a1＝1，所以an＝2n＋1－3.(3)由题知Sn＝，当n＝1时，易得a1＝1.an＝Sn－Sn－1＝－＝·＝＋，2整理得＝⇒an－an－1＝2.所以an＝2n－1.所以Sn＝n2.【答案】(1)an＝2－(2)2n＋1－3(3)n2由递推式求数列通项公式的常见类型(1)形如an＋1＝an＋f(n)的数列，求解此类数列的通项公式一般先通过变形为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，代入相应的关系式，再加以合理的分析与求解．同理，形如an＋1＝f(n)an型数列可转化为用累乘法求解．(2)形如an＋1＝can＋d(c≠0，1)的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归、转化为新的等比数列an＋1＋λ＝c(an＋λ)，求出λ后，...
