第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRx|x∈R，且x值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减[2kπ－π，2kπ]为增；[2kπ，2kπ＋π]为减为增对称中心(kπ，0)对称轴x＝kπ＋x＝kπ[小题体验]1．(2019·徐州调研)函数f(x)＝3sin的最小正周期为________．答案：4π2．函数y＝－tan＋2的定义域为________________．答案：3．函数y＝sin的图象的对称轴是________．解析：y＝sin＝cosx，根据余弦函数的性质可知，y＝sin图象的对称轴是x＝kπ，k∈Z.答案：x＝kπ，k∈Z4．(2019·苏州调研)若函数f(x)＝sinπx，x∈，则f(x)的值域为________．解析：函数f(x)＝sinπx， x∈，∴πx∈，∴≤sinπx≤1.即f(x)的值域为.答案：1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y＝tanx的值域为________．解析：作出正切函数在，内的图象，根据图象可以得到函数的值域为(－∞，－]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－]∪[1，＋∞)2．(2019·常州调研)已知函数f(x)＝sin，则f(x)的单调递增区间为________________．解析：函数f(x)＝sin＝－sin，由2kπ＋≤4x－≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.答案：，k∈Z[题组练透]1．(2019·扬州中学检测)函数y＝tan的定义域为________________．解析：由2x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，故所求定义域为.答案：2．求函数y＝lg(sin2x)＋的定义域．解：由得所以－3≤x＜－或0＜x＜.所以函数y＝lg(sin2x)＋的定义域为∪.[谨记通法](1)应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域，要注意本身的要求．(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．[典例引领]1．(2019·淮安联考)已知函数f(x)＝2cos，x∈，则f(x)的值域是________．解析： x∈，∴x＋∈，∴cos∈，∴2cos∈[－1,2]，故f(x)的值域是[－1,2]．答案：[－1,2]2．(2019·徐州调研)当x∈时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值是________，最大值是________．解析：由正弦函数的性质知，当x∈时，sinx∈. y＝3－sinx－2cos2x＝2sin2x－sinx＋1＝22＋，∴当sinx＝时，ymin＝；当sinx＝1或－时，ymax＝2.答案：2[由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sinx和cosx的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx、cosx、sinxcosx或sinx±cosx换成t，转化为二次函数来求．[即时应用]1．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．解析：由x∈，知x＋∈.因为x＋∈时，f(x)的值域为，所以由函数的图象知≤a＋≤，所以≤a≤π.答案：2．求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．解：令t＝sinx，因为|x|≤，所以t∈.所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，所以当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.所以函数y＝cos2x＋sinx的最大值为，最小值为.[锁定考向]三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．[题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2019·南京调研)函数y＝tan的最小正周期是________．解析：函数y＝tan＝－tan的最小正周期是＝1.答案：1角度二：三角函数的对称性2．若函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝________.解析：因为f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，所以θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝...
