2.3.1抛物线的标准方程【教学目的】:1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程,理解抛物线中的基本量;2、能够熟练画出抛物线的草图,进一步提高学生“应用数学”的水平;【教学重点】:抛物线的标准方程【教学难点】:抛物线标准方程的不同形式【授课类型】:新授课【课时安排】:1课时【教具】:多媒体、实物投影仪【教学过程】:一、复习引入:1、回顾椭圆和双曲线的定义2、生活中抛物线的引例:3、把一根直尺固定在图板上直线L位置,把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角标顶点C的长(即点A到直线L的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板,然后将三角板沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线二、讲解新课:1、抛物线定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线注:(1)定点F不在这条定直线l;(1)定点F在这条定直线l,则点的轨迹是什么?2、推导抛物线的标准方程:如图所示,建立直角坐标系,设KFp(0p),那么焦点F的坐标为)0,2(p,准线l的方程为2px,设抛物线上的点(,)Mxy,则有|2|)2(22pxypx化简方程得022ppxy方程022ppxy叫做抛物线的标准方程(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F)0,2(p,它的准线方程是2px(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物用心爱心专心1xy(1)MKFOD线的标准方程还有其他几种形式:pxy22,pyx22,pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下3、抛物线的准线方程:如图所示,分别建立直角坐标系,设出KFp(0p),则抛物线的标准方程如下:xy(1)MKFODxyKDFM(2)OxyKDFM(3)OxyKDFM(4)OD(1))0(22ppxy,焦点:)0,2(p,准线l:2px(2))0(22ppyx,焦点:)2,0(p,准线l:2py(3))0(22ppxy,焦点:)0,2(p,准线l:2px(4))0(22ppyx,焦点:)2,0(p,准线l:2py相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称;它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41,即242pp;不同点:(1)图形关于x轴对称时,x为一次项,y为二次项,方程右端为px2、左端为2y;图形关于y轴对称时,x为二次项,y为一次项,方程右端为py2,左端为2x(2)开口方向在x轴(或轴)正向时,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在x轴(或y轴)负向时,焦点在x轴(或y轴)负半轴时,方程右端取负号三、讲解范例:例1(1)已知抛物线标准方程是xy62,求它的焦点坐标和准线方程(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程分析:(1)在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的,所以只要求出p即可;(2)求的是标准方程,因此所指抛物线应过原点,结合焦点坐标求出p,问题易解。解析:(1)3p,焦点坐标是(23,0)准线方程是32x.用心爱心专心2(2)焦点在y轴负半轴上,2p=2,所以所求抛物线的标准议程是yx82.例2求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点坐标是F(-5,0)(2)经过点A(2,-3)分析:抛物线的标准方程中只有一个参数p,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求出p值就可以写出其方程,但要注意两解的情况解:(1)焦点在x轴负半轴上,2p=5,所以所求抛物线的标准议程是xy202.(2)经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:y2=2px或x2=-2py.点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=29点A(2,-3)坐标代入x2=-2py,即4=6p,得2p=34∴所求抛物线的标准方程是2y92x或x2=-34y例2已知抛物线的标准方程是(1)212yx,(2)212yx,求它的焦点坐标和准线方程.分析:这是关于抛物线标准方程的基本例题,关键是(1)根据示意图确定属于哪类标准形式,(2)求出参数p的值.解:(1)6p,焦点坐标是(3,0)准线方...