第五节空间向量的运算及应用1．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝12．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝a2，|a|＝.(2)向量的坐标运算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝[小题体验]1．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.答案：22．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.答案：3．已知直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为________．解析：因为线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.答案：±1．共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误认为是共面向量．[小题纠偏]1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ＋μ＝________.解析：因为a∥b，所以b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，所以解得或所以λ＋μ＝±.答案：±2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析：因为AB＝λCD＋μCE，所以AB，CD，CE共面，所以AB与平面CDE平行或在平面CDE内．答案：平行或直线AB在平面内3．(2019·无锡检测)已知平面α的法向量为n＝(1,2，－2)，平面β的法向量为m＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则实数k的值为________．解析：由α⊥β，得m·n＝－2－8－2k＝0，解得k＝－5.答案：－5[题组练透]如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.解：(1)因为P是C1D1的中点，所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.(2)因为N是BC的中点，所以A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.(3)因为M是AA1的中点，所以MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋＝a＋b＋c，又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，所以MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c.[谨记通法]用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二共线、共面向量定理的应用[典例引领]1．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，求m＋n的值．解：AB＝(3，－1,1)，AC＝(m＋1，n－2，－2)．因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得AC＝λAB.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，所以解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.所以m＋n＝－3.2．如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．解：因为AM＝kAC1，BN＝kBC，所以MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋AB＝kB1A＋AB＝AB－kAB1＝AB－...
