第1讲数列的概念及简单表示法一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对n∈N*，存在正整数常数k，使an＋k＝an(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝1常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则二、习题改编1．(必修5P33A组T4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于()A.B.C.D．解析：选D.a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.2．(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝．答案：5n－4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．()(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．()(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×二、易错纠偏(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集{1，2，…，n}；(2)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．1．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第项．解析：依题意得＝，解得n＝10或n＝(舍)．答案：1022．已知Sn＝2n＋3，则an＝．解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝答案：由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝D．an＝(2)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是．【解析】(1)设此数列为{an}，则由题意可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式an＝.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…故其通项公式可以为an＝(－1)n·.【答案】(1)C(2)an＝(－1)n·解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝．解析：数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.答案：2．数列，，，，…的一个通项公式是．3解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a－1＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝.答案：an＝由an与Sn的关系求通项公式an(师生共研)(1)(2020·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为()A.B.C.D．(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝，{an}的通项公式为．【解析】(1)因为Sn＝，a4＝...
