（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 高考中的解析几何问题（第2课时）定点、定值问题教案（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

第2课时定点、定值问题题型一定点问题例1已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．(1)解由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上．因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1,2＝，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．跟踪训练1已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.①若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x＋3y－2＝0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值；②若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．(1)解由题意可得2c＝2，即c＝，设Q，因为四边形ABPQ为平行四边形，PQ＝2n，AB＝a－n，所以2n＝a－n，n＝，则＋＝1，解得b2＝2，a2＝b2＋c2＝4，可得椭圆C的方程为＋＝1.(2)①解将直线y＝kx(k≠0)代入椭圆方程，可得(1＋2k2)x2＝4，解得x＝±，可设M，由E是3x＋3y－2＝0上一点，可设E，E到直线kx－y＝0的距离为d＝，因为△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，所以OE⊥MN，OM＝d，即有＝－，①＝，②由①得m＝(k≠1)，代入②式，化简整理可得7k2－18k＋8＝0，解得k＝2或.②证明由M(－2,0)，可得直线MN的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，解得xN＝，yN＝k(xN＋2)＝，即N，设G(t,0)(t≠－2)，由题意可得D(2,4k)，A(2,0)，以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，可得AN⊥DG，即有AN·DG＝0，即为·(t－2，－4k)＝0，解得t＝0.故点G是定点，即为原点(0,0)．题型二定值问题例2(2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程；(2)如图，过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．(1)解由题意可知，椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，则椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意知直线PQ斜率存在，设其方程为y＝k(x－)－，则整理得(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0.所以x1,2＝，所以x1＋x2＝，x1x2＝，则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，则kAP＋kAQ＝＋＝.由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，kAP＋kAQ＝＝＝1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2(2018·南通考试)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝4，过点P...