第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．3．三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离d＝[小题体验]1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为________．解析：由kAB＝＝－2，得m＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.解析：由题意知＝1，所以|a＋1|＝，又a＞0，所以a＝－1.答案：－13．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为________．解析：直线ax＋2y－1＝0的斜率k1＝－，直线2x－3y－1＝0的斜率k2＝，因为两直线垂直，所以－×＝－1，即a＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1与l2：(t－1)x＋(2t＋3)y＋2＝0互相垂直，则t1的值为________．解析：①若l1的斜率不存在，此时t＝1，l1的方程为x＝，l2的方程为y＝－，显然l1⊥l2，符合条件；若l2的斜率不存在，此时t＝－，易知l1与l2不垂直．②当l1，l2的斜率都存在时，直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝－，因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即·＝－1，所以t＝－1.综上可知t＝－1或t＝1.答案：－1或12．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：因为＝≠，所以m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.答案：2(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y＝mx＋1与直线y＝4x－8垂直，则m＝________.解析：由直线y＝mx＋1与直线y＝4x－8垂直，得m×4＝－1，解得m＝－.答案：－2．(2018·苏州模拟)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．解析：依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.答案：x－2y－1＝03．(2019·启东调研)已知直线l1：(a－1)x＋y＋b＝0，l2：ax＋by－4＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(1,1)；(2)l1∥l2，且l2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2.解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0.①又l1过点(1,1)，所以a＋b＝0.②由①②，解得或当a＝0，b＝0时不合题意，舍去．所以a＝2，b＝－2.(2)因为l1∥l2，所以a－b(a－1)＝0，③由题意，知a＞0，b＞0，直线l2与两坐标轴的交点坐标分别为，.则××＝2，得ab＝4，④由③④，得a＝2，b＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒]当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况．2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)2l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)[提醒]在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．[典例引领]已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a，b)．因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB...
