第9讲离散型随机变量的均值、方差和正态分布基础知识整合1．离散型随机变量的均值与方差(1)若离散型随机变量X的分布列为①均值称E(X)＝□x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或□数学期望，它反映了离散型随机变量取值的□平均水平．②方差称D(X)＝□xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的□平均偏离程度，其□算术平方根为随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质①E(aX＋b)＝□aE(X)＋b.②D(aX＋b)＝□a2D(X)．(a，b为常数)③两点分布与二项分布的均值、方差2．正态分布(1)正态曲线的性质①曲线位于x轴□上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线□x＝μ对称；③曲线在□x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为□1；⑤当σ一定时，曲线随着□μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ□越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ□越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8答案B解析随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3.故选B.3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝()A．1B．5C．2D.答案B解析由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}， ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B.4．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝()A.B.C．4D.答案B解析由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.5．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案20，解析记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.6．已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.答案解析由⇒⇒核心考向突破考向一离散型随机变量的均值与方差角度\s\up7()与古典概型有关的均值与方差例1盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解(1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝＝＝.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1...
