第2讲数列求和与综合应用[做小题——激活思维]1．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1[答案]C2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝()A．9B．8C．17D．16A[S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]3．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为()A．2016B．2017C．2018D．2019D[an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2019.]4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________．2n＋1＋n2－2[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.]5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝________.(n－1)2n＋1＋2[Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.][扣要点——查缺补漏]1．数列通项的求法(1)利用an与Sn的关系利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况．如T1.(2)根据数列的递推关系求通项的常用方法①累加(乘)法形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法；形如＝f(n)的数列，可用累乘法．②构造数列法形如an＋1＝，可转化为－＝，构造等差数列；形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)，可转化为an＋1＋＝p构造等比数列.2．数列求和的常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法，如T4；(3)错位相减法，如T5；(4)裂项相消法，如T3；(5)并项求和法，如T2.数列中an与Sn的关系(5年3考)[高考解读]高考对该部分内容的考查主要是an与Sn的转化以及递推关系式的转化应用，难度偏大.角度一：利用an与Sn的关系求通项an或Sn1．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.切入点：Sn＝2an＋1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为项的关系式或和的关系式．关键点：利用an与Sn的关系，借助Sn＝2an＋1构造新数列．－63[法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.]2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.切入点：an＋1＝SnSn＋1.关键点：利用an＋1＝Sn＋1－Sn将条件转化．－[ an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]角度二：利用递推公式求通项an3．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．切入点：a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.关键点：利用a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0判断出数列{an}的性质．[解](1)由题意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.[教师备选题]1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.[ an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.]2．(2014·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.当n＝1时，a1...
